問題

コスニタの定理

図において
O は鋭角三角形 僊BC の外心とし
D, E, F は各々
儖BC, 儖CA, 儖AB の外心とする
このとき、

AD, BE, CF は一点で交わる

Gogeometryに紹介されていました

ここでは複素数をつかった証明を紹介します
複素数平面で証明しよう
僊BC の外接円が単位円となるよう
座標をいれて、複素数平面で考えよう
A, B, C, D, E, F に対応する複素数を
a, b, c, d, e, f とする
a, b, c は単位円上にある複素数である。



d が 0 と b を結ぶ垂直二等分線上にあるので
d + b2d = b
が成り立つ。(単位円と直線の方程式参照)
同様に
d + c2d = c
が成り立つ。
よって
d = 1/(b+c)
であり、 b, c の長さが 1 なので
d = bc/(b+c)
が成り立つ。

同様にして
e = 1/(c+a), e = ca/(c+a)
f = 1/(a+b), f = ab/(a+b)
である
a と d を結ぶ直線が単位円と再び交わる
複素数を α とする。
d が長さが 1 の複素数 a と α を
結ぶ直線上にあるので

d + a αd = a + α
(単位円と直線の方程式参照)
よって

(ad - 1) α = a - d

d = 1/(b+c), d = bc/(b+c)
なので

α = (ca+ab-bc)/(a-b-c)

である。
b と e を結ぶ直線が単位円と再び交わる
複素数を β とし
c と f を結ぶ直線が単位円と再び交わる
複素数を γ とすると、同様にして

β = (ab+bc-ca)/(b-c-a)
γ = (bc+ca-ab)/(c-a-b)

が成り立つ。
δ = (α - b)(β - c)(γ- a)
   + (c - α)(a - β)(b - γ)
とおくとき、
a と α, b と β、 c と γ を各々結ぶ3本の直線が
一点で交わることを示すには
δ = 0
を示せばよい。 (円のチェバ型定理参照)

α = (ca+ab-bc)/(a-b-c)
β = (ab+bc-ca)/(b-c-a)
γ = (bc+ca-ab)/(c-a-b) より

α - b = (b2 + ca)/(a-b-c), c - α = -(c2 + ab)/(a-b-c)
β - c = (c2 + ab)/(b-c-a), a - β = -(a2 + bc)/(b-c-a)
γ - a = (a2 + bc)/(c-a-b), b - γ = -(b2 + ca)/(b-c-a)
なので δ = 0 である
単位円と直線の方程式

複素数平面における直線の方程式は
かなり複雑な式になる。 しかし、単位円に関連すると 簡単になり取り扱い安いものになる。

定理

a, b を長さ 1 の複素数とするとき
@ a, b を通る直線の方程式は
   z + abz = a + b
A a における単位円の接線の方程式は
   z + a2z = 2a
B 0 と a を結ぶ直線の垂直二等分線の
方程式は
   z + a2z = a
複素数 z が a と b を通る直線上の点である
必要十分条件は
(z-a)/(b-a) が実数である
つまり共役をとっても不変、従って

(z-a)( b - a) = (z - a)(b-a)

a, b は長さが 1 なので
a = 1/a, b = 1/b であるので
上記の式は

(z-a)(a - b)/ab = = (z - 1/a)(b-a)

これに ab/(a-b) をかけて

 z-a = -ab(z - 1/a)

つまり

z + abz = a + b

を得る。(@ が示せた)

O と a とを結ぶ直線の垂直二等分線と
単位円との交点をに対応する複素数を
c, d とおくと
cd = a2 で c+d = a なので
@ より垂直二等分線の方程式は

z + a2z = a

即ち B を得た。

z を a における単位円の接線上の点である条件は
(z-a)/a が純虚数、共役をとると符号が変わる

これを計算してAをえる。

(結果的に、@において b=a としたものですが
)
定理

a と b を結ぶ直線と
c と d を結ぶ直線について

C 平行である条件は ab = cd である。
D 直交する条件は ab + cd = 0 である。

証明

C 平行である条件は (c-d)/(a-b) が実数であること
つまり
(c-d)(a-b) = (a-b)(c-d) となる
a = 1/a, b = 1/b, c = 1/c, d = 1/d より
それは ad = cd となる
D 直交する条件は (c-d)/(a-b) が純虚数であること
(c-d)(a-b) = -(a-b)(c-d) となる
a = 1/a, b = 1/b, c = 1/c, d = 1/d より
それは ad + cd = 0 となる
円に関するチェバ型の定理

a, b, c, d, e, f を
複素数平面における単位円上の複素数とする
a と d, b と e, c と f を結ぶ
三本の直線が
一点で交わるまたは、 平行である
為の必要十分条件は
φ = (a-b)(c-d)(e-f)+(f-a)(b-c)(d-e)
とおくとき φ = 0 である

次を使う

補題

φ = ad(c+f-b-e) + (a+d)(be-cf)
    - be(c+f) + cf(b+e)


補題の証明

φ を変形しよう
φ = a(c-d)(e-f) - b(c-d)(e-f)
   + f(b-c)(d-e) - a(b-c)(d-e)
  = ac(e-f) -ad(e-f) - bc(e-f) + db(e-f)
  + df(b-c) - fe(b-c) - ad(b-c) + ae(b-c)
  = ad(c-b+f-e)
  + a(ce-cf+be-ce) + d(be-bf+be-cf)
  - bce + bcf -feb + fce
  = ad(c+f-b-e) + (a+d)(be-cf)
  - be(c+f) + cf(b+e)

補題が証明された

定理の証明に移ろう

三本の直線が
複素数 p で交わっているとする
単位円の幾何学 より
p + adp = a+d
p + bep = b+e
p + cfp = c+f
が成り立つので

φ = ad(c+f-b-e) + (a+d)(be-cf)
    - be(c+f) + cf(b+e)
  = ad(p + cfp - p - bep )
  + (p + adp) (be-cf)
   - be(p + cfp) + cf(p + bep)
   = 0

が成り立つ。

このとき 単位円の幾何学 より
ad = be = cf
なので
φ = ad(c+f-b-e) + (a+d)(be-cf)
    - be(c+f) + cf(b+e)
  = ad(c+f-b-e) + (a+d)(ad-ad)
    - ad(c+f) + ad(b+e)
  = 0
が成り立つ。

逆に φ = 0 とする

b と e を結ぶ直線と c と f を結ぶ直線が
平行でなく
複素数 p で交わっているとする
このとき be - cf ≠ 0 であり
p + adp = a+d
p + bep = b+e
である。
φ = ad(c+f-b-e) + (a+d)(be-cf)
    - be(c+f) + cf(b+e)
  = ad(p + cfp - p - bep )
  + (a+d) (be-cf)
   - be(p + cfp) + cf(p + bep)
  = (be-cf)(adp - a - d + p)

である。
φ = 0 かつ be - cf ≠ 0 なので
p + adp = a+d
をえる。これは p が a と d を結ぶ直線上に
あることを示している

平行であるとする。 このとき be = cf である

φ = ad(c+f-b-e) + (a+d)(be-cf)
    - be(c+f) + cf(b+e)
  = (ad - be)(c+f-b-e)

φ = 0 より
ad - be = 0 または c+f-b-e = 0
ad = be のときは
a と d を結ぶ直線と b と e を結ぶ直線は
平行である
c+f = b+e のときは
b と e を結ぶ直線と
c と f を結ぶ直線は一致する
(平行で共通点を持つので)