図において
AI, AH は ∠BAC の三等分線
AP, AJ は ∠BAC の外角の三等分線
BP, BG, BI は ∠ABC の外角の三等分線
CJ, CG, CH は ∠ABC の外角の三等分線
とする。このとき

@ 僭HI は正三角形である。
A 僭JP は正三角形である。
証明

3α = ∠BAC
3β = ∠ABC
3γ = ∠BCA
とおく。このとき
α + β + γ = 60°
∠BAI = ∠IAH = ∠HAC = α
∠PAB = ∠JAC = 60°- α
∠ABP = ∠IBG = ∠GBC = 60°- β
∠JCA = ∠BCG = ∠GCH = 60°- γ
であり
I は PB の延長線上、H は JC の延長線上にある。

続く