定理(Morley) 図において AE, AF は ∠BAC の三等分線 BF, BD は ∠CBA の三等分線 CD, CE は ∠ACB の三等分線 とする。このとき �僖EF は正三角形である。 堀君の証明(増加を押す) 正三角形 PQR をかく。残りも正三角形(増加を押す) α = (∠BAC)/3, β = (∠CBA)/3, γ = (∠ACB)/3 とおく α + β + γ = 60°である。 �儡QR, �儺RP, �儷PQ を ∠SRQ = 60°+ β, ∠SQR = 60°+ γ ∠TPR = 60°+ γ, ∠TRP = 60°+ α ∠UQP = 60°+ α, ∠UPQ 60°+ β であるようにつくる。このとき ∠QSR = α, ∠RTP = β, ∠UPQ = γ である。 (増加を押す) �儔SR と SR に関して線対称な �儉SR を描く (増加を押す) ∠PRL = 180°- 2β で RP = RP なので ∠RLP = β である。 ∠RTP = β = ∠RLP なので 四辺形 LTPR は円に内接している。 従って ∠TLR の外角 = ∠TPR である。 ∠TLR の外角 = ∠TPR = 60°+ γ = ∠SQR = ∠SLR なので S, L, T は一直線上にある。よって ∠TSR = ∠LSR = ∠QSR = α ∠STR = ∠LSR = ∠QSR = β が示される。(増加を押す) 同様に ∠UTP = β, ∠TUP = γ ∠SUQ = γ, ∠USQ = α が成り立つ 図形として ABCDEF は STUPQR と相似なので �僖EF は �儕QR と相似であある。 つまり �僖EF が正三角形であることがわかる。