U.　次の数列について、後の問いに答えなさい。　 ただし、第 m 群に m 個の数が含まれるように区切られているものとする。
　　1 | 2, 3 | 3, 4, 5 | 4, 5, 6, 7 | 5, 6, 7, 8, 9 | ....... | m, m+1, m+2, .... | ......
(1)　各群の最後の数は奇数になることを示しなさい。
(2)　初めて 2004 が現れるのは第何群か、またそのとき、2004 は その群の何番目の数であるか求めなさい。
(3)　第 1 群から第 m 群の n 番目 (m ≥ n) までのすべての数の和を S(m,n) とする。 　このとき S(m,n) ≥ 2004 を満たす m の最小値とそのときの n の最小値を求めなさい。

(1)　各 m 群は、項数が m　であり、
初項が m で公差が 1 の等差数列である。
その最後の数は 2m-1 であり、 それは奇数である。
(2)　第 m 群に最初に 2004 が出てくるとすると
　2m-1 = 2004+1 より m = 1003
　2004 はその群の最後の１つ前の数なので
　2004 はその群の 1002 番目の数である。
　 (3)　第 m 群に出てくる数の
　初項から n 項までの和を T(m,n) であらわす。
　　T(m,n) = m + (m+1) + ... + (m+n-1)
　　　 = (m+n-1)(m+n)/2 - (m-1)m/2
　　　 = (2mn + n2 - n)/2
特に T(m,m) = (3m2 - m)/2 である。
初項から第 m 群その最後の項までの総和を
U(m) であらわすと
U(m) = T(1,1) + T(2,2) + .... + T(m,m)
　　　　= m2(m+1)/2　である。 		　 S(m,n) ≥ 2004 を満たす
m の最小値とそのときの n の最小値に対しては
　U(m-1) < 2004 ≤ U(m) が成り立つ。
U(16) = 2176, U(15) = 1800 より、m = 16
S(m,n) = U(m-1) + T(m,n) より
S(16,n) = 1800 + (n2+31n)/2 である。
n の満たすべき条件より
　S(16,n-1) < 2004 ≤ S(16,n)
(n-1)2+31(n-1) < 408 ≤ n2+31n
これをといて n = 10
m = 16, n = 10
戻る