問題

二つの正三角形と内接円と傍接円

図において
僊BC は正三角形
D は AC の中点で、E は AD の中点
傳FE は正三角で
G は BD の中点で,
H は BC と GF との交点とする
このとき

G が 僊BH の内接円の中心(内心)
F が 僊HC の傍接円の中心(傍心)で
この二つの円の大きさが同じ
であることを示せ
解説   Applet版
40°の菱形と対角線

図において
四辺形 ABCD は菱形で ∠BAD = 40°とする
CB の延長上に点 E を
CE = CA
とする
このとき

∠DEC = 30°

であることを示せ
解説   Applet版
三角形と一点で会する3直線

D, E, F を各々 僊BC の
辺 BC, CA, AB 上の点で
DE ‖ AB, DF ‖ AC とする。
G を BE と DF の交点とし、
H を DE と CF の交点とする
J を BH と AC の交点とし、
K を CG と AB の交点とする
このとき次を示せ。

(1) GH は BC と平行である。
(2) AD, BJ, CK は一点で交わる
(3) BE, CF, JK は一点で交わる
(4) EF, GH, JK は一点で交わる
Go Geometryにあった問題です
解説   Applet版
二つの正方形と二つの直角二等辺三角形

図において
四辺形 ABDE と ACFG は正方形とする。
M を DF の中点とするとき
儁BC, 傳EG は直角二等辺三角形である。
このことを示せ。
解説   Applet版
30°問題

図において
∠ABC = 84°、∠ACB = 42°
∠DBC = 30°、∠ACD = 30°
僂DE は正三角形とする。
このとき AE が BD を垂直二等分する
  ことを示せ。

解説   Applet版
円に外接する四辺形と直交する弦

四辺形 EFGH は円に外接しているとする。
その円と、辺 HE, EF, FG, GH 各々との接点を
A, B, C, D とする
4直線 EG, FH, AC, BD が一点で交わっている
(参照) その交点を P とする。
AC と BD が直交しているとき
次が成り立つことを示せ。

PB は ∠EPF の二等分線である

解説   Applet版
直角三角形と二等辺三角形と中点

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形
僊DC は DA = DC の二等辺三角形
E は BC の中点とし、
F は AD の中点とする
このとき、次を示せ。

BD = 2EF である

解説   Applet版
円に外接する四辺形と長さ

四辺形 ABCD は円に外接しているとする。
T を対角線 AC と BD との交点とする。
T から辺 AB, BC, CD, DA 各々に
下ろした垂線の足を各々 K, L, M, N とおく
h1 = TK, h2 = TL, h3 = TM, h4 = TN
とおくとき、次が成り立つことを示せ。

1/ h1 + 1/h3 = 1/ h2 + 1/h4

解説   Applet版
角度の問題(36°)

図において
D は 僊BC の頂点 A から
辺 BC に下ろした垂線の足とする。
∠BAD = 36°, ∠CAD = 66°とする
E は AD 上の点で
∠ACE = 18°とする。このとき

∠EBC = 18°であることを示せ。

解説   Applet版
角度の問題(38°)の発展問題
角度の問題(38°)

図において
AB = AD で ∠ABD = 14°
∠CBD = 16°, ∠CDB = 8°
とするとき

∠BAC = 38°であることを示せ。

(かなりの難問と思います)

解説   Applet版
60°の三角形と垂心

僊BC において ∠ABC = 60°とする。
H は 僊BC の垂心
D, E, F は 僊BC の頂点 A, B, C から
各々辺 BC, CA, AB に引いた垂線の足とし
M は BH の中点とする。
CM の延長線上に点 G を
GM = MC となるようにとる。
K を AG の中点とするとき次を示せ。

僵BH は正三角である。
解説   Applet版
垂心と垂線

図において
D, E, F は 僊BC の頂点 A, B, C から
各々辺 BC, CA, AB に引いた垂線の足
H, G, M, N は点 D より
AB, AC, BE, CF に引いた垂線の足
I は 僊BC の内心から DE に引いた
垂線の足とする
このとき、次を示せ

@ H, M, N, G は同一直線上にある
A FE と HG は平行である
B MN = DK である
解説   Applet版
外接線と内接線と割線

図のように
円 A 上の点 C, F と円 B 上の点 D, G を
CD が二円の共通外接線、
FG が二円の共通内接線
であるようにとる
E は CD と FG との交点とする。
直線 CF と円 B との交点を H, M とする。
GN を円 B の直径とする。
HM と GN と交点を K とする。このとき

GM が 僭KM の外接円と接していることを示せ
解説   Applet版
4つ目の外接円

図において
A, B, C, D は一直線上にある
E, F, G, H は一直線上にある
A, B, M, F, E は同一円周上にある
B, C, G, F は同一円周上にある
C, D, H, G, N は同一円周上にある
A, M, H は一直線上にある
E, N, D は一直線上にある
P は二直線 MB と HC との交点
Q は二直線 NC と EB との交点
とする。このとき次を示せ

B, P, Q, C は同一円周上にある
解説   Applet版
直径と二つの弦と二つの外接円

AB を直径とする円の
二本の弦 AC と BD が円内の点
E で交わっている。
P を 僂DE の外心とし
AB と PE の延長との交点を F とする。
このとき P, D, F, O, C が
同一円周上にあることを示せ。

解説   Applet版
直角三角形と内心

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形として
I はその内心とする
D は BC 上の点で CD = CAとする
このとき、次を示せ

@ BI は 僮DC の外接円に接している
A BI2 = a(a-b)
B BI2 : CI2 = a-b : a-c
   ここで   a = BC, b = CA, c = AB としている。
解説   Applet版
直角三角形と垂線と内接円と相似

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形
D は A から BC に下ろした垂線の足
I, J, K は各々 僊BC, 僊BD, 僊DC の
内心 とする。このとき次を示せ
@ 僊JD ∽ 僊IK である。
A B, C, K, J は同一円周上にある
B 僮JK ∽ 僵CA である。
C 僖JK ∽ 僊BC である。
解説   Applet版
角度の問題

図において
∠BAC = 36°, ∠BCA = 50°
∠CAD = 72°, ∠ACD = 65° のとき
∠BDC を求めよ

一般問題と解説   Applet版
120°の鈍角三角形と角の二等分線

僊BC は ∠BAC が120°の鈍角三角形とする。
D, E, F は各々辺 BC, CA, AB 上の点で
AD, BE, CF は各々
∠BAC, ∠CBA, ∠ACB の二等分線とする。
DE と CF との交点を G とし
DF と BE との交点を H とする
このとき、次を示せ

@ ∠CED = 30°
A H は 僊BD の内心である
B A, F, D, G は
FG を直径とする円の円周上にある
解説   Applet版
4つの正三角形

僊BC の各辺を一辺とする三つの正三角形
僊FB, 傳DC, 僂EA を描く

図のように点 P を
儕BC ∽ 僊BE
となるようにとる。このとき次を示せ

@ 儕CA ∽ 傳CF
A 儕AB ∽ 僂AD
B  AP, BP, CP それぞれの延長との
交点を G, H, I とおくと
僭HI は正三角形である。

解説   Applet版
傍接円と4つの三角形の問題

僊BC の三つの傍接円と各辺との接点を
図のように
D, G, G, E. I, J, F, K, L とする。
僊BC、僖EF, 僖GH, 僞IJ, 僥KL の面積を
各々 T, S, Sa, Sb, Sc とおくとき
@ S/T = 2αβγ/(abc)
A Sa/T = 2sβγ/(abc)
B Sb/T = 2sαγ/(abc)
C Sc/T = 2sαβ/(abc)
D S/Sa = α/s, S/b = β/s, S/c = γ/s
  1/Sa + 1/Sb + 1/Sc = 1/s
E 儕QR の面積 = 僖EF の面積

ここで
 a = BC, b = CA, c = AB
 s = (a + b + c)/2
 α = s - a, β = s - b, γ = s - c
としている。

解説   Applet版
問題 内接円と傍接円

僊BC が与えられている
僊BC の内接円と、辺 BC, CA, AB との
各々の接点を D, E, F とおく
僊BC の傍接円と、辺 BC, CA, AB (延長)との
各々の接点を L. M,N とおく
D から EF に下ろした接線の足を H とし
L から MN に下ろした接線の足を K とする
このとき
 DH = LK
であることを示せ
解説   Applet版
問題

四辺形 ABCD は円に内接しており

AB = AD = 4, AC = root(37)
四辺形 ABCD の面積 = 10 root(3)
BC ≥ CD

とする。このとき
BC の長さを求めよ。

数学博物館すうじあむ にあった問題です
解説   Applet版
問題

図において
AB = AC = AD
E は 僊BD の外接円と
AC との交点とする。
このとき

 ED = EC

である。
解説   Applet版
問題

I を 僊BC の内心とする
僊BC の内接円と辺 AC, AB との接点を
各々 E, F とする。
B から直線 CI に下ろした垂線の足を
G とおく
このとき

E, F, G が一直線上にあることを示せ
解説   Applet版
問題

I を 僊BC の内心とする
僊BC の内接円と辺 AC, AB との接点を
各々 E, F とする。
B から直線 CI に下ろした垂線の足を
G とおく
このとき

E, F, G が一直線上にあることを示せ
前問題の G の位置が異なる場合
解説   Applet版
問題

図において

∠DBC = 30°, ∠ACB = 44°, ∠ACD = 30°
AB = AD

とする。このとき

∠BAC を求めよ

解説   Applet版
問題

図において

∠DBC = 30°, ∠ACB = 20°, ∠ACD = 30°
AB = AD

とする。このとき

∠BAC を求めよ

解説   Applet版
問題

図において 僊BC は

∠BAC = 80°, AB = AC

の二等辺三角形であり
D は B から AC に引いた垂線の足

E は AD 上の点で

EA = EB

とする。このとき

∠ACE = 30°

であることを示せ
解説   Applet版
問題

僊BC は AB = AC の二等辺三角形で
D は AD の延長線上の点で
∠ADB = 30°
とする。このとき

∠BAC を求めよ

解説   Applet版   Topに戻る

解説

問題

図において
AB = AC = AD
E は 僊BD の外接円と
AC との交点とする。
このとき

 ED = EC

である。
∠ECD = ∠EDC を示す。

その為に

2∠ECD = ∠BED を示す。

∠BED = ∠BAD である。
2∠BCD = ∠BAD である。

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問題

I を 僊BC の内心とする
僊BC の内接円と辺 AC, AB との接点を
各々 E, F とする。
直線 CI と EF との交点を
G とするとき
∠BGC = 90°を示せ。

これをとくとよい
∠EGC =∠FBI を示す
∠IEF = ∠IAC に注目する

∠IAC + ∠ACG + ∠ABI
 = (∠BAC + ∠ACB + ∠ABC)/2
 = 90°
なので
∠EGC = ∠AEF - ∠ACG
 = 90°- ∠IEF - ∠ACG
 = 90°- ∠IAC - ∠ACG
 = ∠ABI
∠EGC =∠FBI なので
四辺形 FBIG は円に内接している
よって
∠BGI = ∠BFI = 90°がわかる
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問題

I を 僊BC の内心とする
僊BC の内接円と辺 AC, AB との接点を
各々 E, F とする。
直線 CI と EF との交点を
G とするとき
∠BGC = 90°を示せ。

これをとくとよい
∠EGC =∠FBI を示す
∠IEF = ∠IAC に注目する

∠IAC + ∠ACG + ∠ABI
 = (∠BAC + ∠ACB + ∠ABC)/2
 = 90°
なので
∠EGC = ∠AEF - ∠ACG
 = 90°- ∠IEF - ∠ACG
 = 90°- ∠IAC - ∠ACG
 = ∠ABI
∠EGC =∠FBI なので
四辺形 FBIG は円に内接している
よって
∠BGI = ∠BFI = 90°がわかる
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問題

図において

∠DBC = 30°, ∠ACB = 44°, ∠ACD = 30°
AB = AD

とする。このとき

∠BAC を求めよ
傳CD の外心を E とおく
EC = ED であり
∠CED = 2∠CBD = 60°なので
僂DE は正三角形である
∠ACD = 30°,∠ACB = 44°, ∠ACE = 60 °なので
∠ECB = 14°である。
∠CBD = 30°なので
∠EBC = ∠ECB = 14°
∠EDB = ∠EBD = 16°である

より
AD = AE、∠EAC = ∠DAC である
AB = AD だったので
B, D, E は A を中心とする円の
円周上にある。

∠BAE = 2∠BDE = 32°
∠EAD = 2∠EBD = 32°
∠EAC = ∠DAC なので
∠BAC = 48°である
戻る
問題

図において

∠DBC = 30°, ∠ACB = 20°, ∠ACD = 30°
AB = AD

とする。このとき

∠BAC を求めよ

傳CD の外心を E とおく
∠CED = 2∠CBD = 60° である。
よって
∠ECB = 60°- ∠DCB = 10°
故に
∠EBC = ∠ECB = 10°
∠CBD = 30°なので
∠EDB = ∠EBD = 40°
である。
EC = ED, ∠CED = 60°
より 僂DE は正三角形である
∠DCE = 60°、∠ACD = 30°なので
AC は ED を直交二等分する
よって
AE = AD で ∠EAC = ∠DAC
である。
AB = AD だったので
B, D, E は A を中心とする円の
円周上にある。

∠BAE = 2∠BDE = 80°
∠EAD = 2∠EBD = 80°
∠EAC = ∠DAC なので
∠BAC = 120°である
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図において 僊BC は

∠BAC = 80°, AB = AC

の二等辺三角形であり
D は B から AC に引いた垂線の足

E は AD 上の点で

EA = EB

とする。このとき

∠ACE = 30°

であることを示せ
題意の図を
解答が得られる形で作図しよう

∠AEB = 160°, EA = EB

の二等辺三角形 僞AB を描く
∠BEG = 80°, EB = EG

の二等辺三角形 僞BG を描く
∠BGC = 160°, GB = GC

の二等辺三角形 僭BC を描く
僊BC ∽ 僞BG

がわかり

∠BAC = 80°, AB = AC

がわかる
BE の延長と AC との交点を D とおく
∠ABE = 10°なので ∠EBC = 40°である。
∠ACB = 50°なので ∠BDC = 90°
つまり D は B から AC に下ろした垂線の足である。
DC 上に点 F を

DF = AD となるようにとる。
∠AEF = 60°で EF = EA である。
A, B, G, F は E を中心とした円の円周上にあり
∠GEF = 360° - 40 °- 160° - 80°
 = 80°= ∠BEG
なので
GB = GF
∠GCF = 60°で GC = GFなので
僭CF は正三角形である。
EF = EG, CF = CG, ∠FCG = 60°
でなので
∠FCE = 30°である
図において

∠BAC = 80°, AB = AC
D は B から AC に引いた垂線の足
E は AD 上の点で
EA = EB であり

∠ACE = 30°である
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僊BC は AB = AC の二等辺三角形で
D は AD の延長線上の点で
∠ADB = 30°
とする。このとき

∠BAC を求めよ
題意の図を
E を 僊BD の外心とする

EA = EB = ED であり
∠AEB = 2∠ADB = 60°である。

EA = EB, ∠AEB = 60°より
僊BE は正三角形である

僊BC と 僞DA において
AB = ED, AC = EA, BC = DA より
僊BC ≡ 僞DA である
これらの二等辺三角形の低角を α とおくと
∠BAC = 180°- 2α
∠BAC = 60°+ α

従って α = 40°を得て
∠BAC = 100°を得る。
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問題

四辺形 ABCD は円に内接しており

AB = AD = 4, AC = root(37)
四辺形 ABCD の面積 = 10 root(3)
BC ≥ CD

とする。このとき
BC の長さを求めよ。

数学博物館すうじあむ にあった問題です
s = 10 root(3), c = root(37)
b = BC, d = CD
とおく。

AB = AD より
∠ACB = ∠ACD である。
これを θ とおく

余弦定理より
AB2 = AC2 + BC2 - 2AC×BC cos θ
AD2 = AC2 + CD2 - 2AC×CD cos θ
より。
@ 16 = 37 + b2 - 2bc cos θ
A 16 = 37 + d2 - 2dc cos θ
これらより
 2(b-d)c cos θ = b2 - d2
(b ≠ d より) B b+d =  2c cos θ

四角形 ABCD の面積計算して
bc sin θ + dc sin θ = 2s
つまり

C (b+d)c sin θ = 2s

c2 = 37 より C に B を代入して

D 37 sin 2θ = 2s

これより

c cos θ = 5

@、A より b, d は方程式

x2 - 10x + 21 = 0

の解である。
b ≥ d より b = 7, d = 3 である。
b ≠ d の理由

もし b = d とすると
∠ABD = 90 °なり b = root(21) = d を得て
四角形 ABCD の面積 = 4 root(21) となり矛盾
途中に戻る
c cos θ = 5 の理由



図において
三角形 FGE は
∠GFE = 90°、EG = 37, FG = 2c
の直角三角形とする。
∠GEF = 2θ である。

H は FE の延長線上の点で
EH = EG とする。このとき

∠GHF = θ
EF = 13
HF = 50
HG = 10 c

を得て
c cos θ = 5
をえる。
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問題 内接円と傍接円

僊BC が与えられている
僊BC の内接円と、辺 BC, CA, AB との
各々の接点を D, E, F とおく
僊BC の傍接円と、辺 BC, CA, AB (延長)との
各々の接点を L. M,N とおく
D から EF に下ろした接線の足を H とし
L から MN に下ろした接線の足を K とする
このとき
 DH = LK
であることを示せ
P を BC の中点とする。
次に注意する。
@ AE = AF, AN = AM
A BF = BD = CL = CM
B CE = CD = BL = BN
C LP = PD
C を通り AB と平行な直線と MN との交点を
Q とおく
僊NM ∽ 僂QN で AN = AM なので
CQ = CM
である
CQ = FB (Aを使った) で
FB と CQ は平行なので
四辺形 FBQC は平行四辺形
よって BC の中点 P は FQ の中点である

B を通り AC と平行な直線と MN との交点を
R とおく
上と同様な議論により
P は ER の中点である

P は線分 DL, ER, FQ の中点なので
四辺形 PDEF と PLRQ は
P に関して点対称であるよって
D から EF の高さと
R から RQ への高さは等しい
つまり DH = LK である。
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僊BC の各辺を一辺とする三つの正三角形
僊FB, 傳DC, 僂EA を描く

図のように点 P を
儕BC ∽ 僊BE
となるようにとる。
このとき次を示せ

@ 儕CA ∽ 傳CF
A 儕AB ∽ 僂AD
僊BC の外接円と
B  AP, BP, CP それぞれの延長との
交点を G, H, I とおくと
僭HI は正三角形である。
C AD, BE, CF は一点で交わる
      交点を Q とおく
D 僊BE ≡ 僊FC
  傳CF ≡ 傳DA
  僂AD ≡ 僂EB
@ 儕CA ∽ 傳CF の説明

儕BC ∽ 僊BE より ∠PCB = ∠AEB
D より ∠AEB = ∠ACF
よって ∠PCA = ∠BCF
儕BC ∽ 僊BE より
BC : PC = BE : AE
よって
AE : PC = BE : BC
仮定より AE = CA, D より BE = CF なので
CA : PC = CF : BC
∠PCB = ∠AEB だったので
 儕CA ∽ 傳CF

同様に A も示せる

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傍接円と4つの三角形の問題

僊BC の三つの傍接円と各辺との接点を
図のように
D, G, G, E. I, J, F, K, L とする。
僊BC、僖EF, 僖GH, 僞IJ, 僥KL の面積を
各々 T, S, Sa, Sb, Sc とおくとき
@ S/T = 2αβγ/(abc)
A Sa/T = 2sβγ/(abc)
B Sb/T = 2sαγ/(abc)
C Sc/T = 2sαβ/(abc)
D S/Sa = α/s, S/b = β/s, S/c = γ/s
  1/Sa + 1/Sb + 1/Sc = 1/s
E 儕QR の面積 = 僖EF の面積

ここで
 a = BC, b = CA, c = AB
 s = (a + b + c)/2
 α = s - a, β = s - b, γ = s - c
としている。
定義より
AL = AF, AI = AE、AH = AG
BK = BF, BH = BD, BJ = BI
CG = CD, CJ = CE, CL = CK
である
よって
2AH = AH + AG = AB + BH + AC + CG
 = AB + BD + AC + CD
 = AB + BC + CA = c + a + b = 2s
より
AG = AH = s
同様にして、次を得る
AG = AH = BI = BJ = CK = CL = s
よって
BF = BK = CK - BC = s - a = α
CE = CJ = BJ - BC = s - a = α
同様に
AF = AL = CD = CG = s - b = β
BD = BH = AE = AI = s - c = γ
また
a = β + γ, b = γ + α c = α + β
s = α + β + γ
ある
僊EF の面積/T = AE×AF/(AC×AB)
 = βγ/(bc)
同様に
傳FD の面積/T = γα/(ca)
僂DE の面積/T = αβ/(ab)
よって
S/T = 1 - βγ/(bc)1 - γα/(ca) - αβ/(ab)
である。ゆえに
abc - aβγ - bγα - cαβ
= (β + γ)(γ + α)(α +. β)
- (β + γ)βγ - (γ + α)γα - (α +. β)αβ = 2αβγ
なので
S/T = 2αβγ/(abc)

僊HG の面積/T = AG×AH/(AC×AB) = s2/(bc)
傳DH の面積/T = γ2/(ca)
僂DG の面積/T = β2/(ab) より
Sa/T = s2/(bc) - 1 - γ2/(ca) - β2/(ab)  である
as2 - abc = as2 - a(s - β)(s - γ) = asγ + asβ - aβγ
, aβγ + bγ2 + cβ2
 = (β + γ)βγ + (s - β)γ2 + (s - γ)β2
 = s(γ2 + β2)    なので
as2 - abc - bγ2 - cβ2
 = asγ + asβ - s(γ2 + β2)
 = s((β + γ)(β + γ) - γ2 - β2)  = 2sβγ
故に Sa/T = 2sβγ/(abc)
AP = AR = α, BP = BR = β, CQ = CP = γ
である。
儕QR の面積/T
 = 1 - α2/(bc) - β2/(ca) - γ2/(ab)
である
abc - aα2 - bβ2 -cγ2
= (β + γ)(γ + α)(α +. β)
- (β + γ)α2 - (γ + α)β2 - (α +. β)γ2
= 2αβγ
なので
儕QR の面積/T = 2αβγ/(abc) = S/T

よって
儕QR の面積 = 僖EF の面積
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120°の鈍角三角形と角の二等分線

僊BC は ∠BAC が120°の鈍角三角形とする。
D, E, F は各々辺 BC, CA, AB 上の点で
AD, BE, CF は各々
∠BAC, ∠CBA, ∠ACB の二等分線とする。
DE と CF との交点を G とし
DF と BE との交点を H とする
このとき、次を示せ

@ ∠CED = 30°
A H は 僊BD の内心である
B A, F, D, G は
FG を直径とする円の円周上にある
C ∠PAD = ∠PCD = ∠PCA = ∠PDA
D ∠PFA = 60°- ∠ACP
    = 60°- ∠PAD = PAF
を示す
PA = PD = PF より
A, F, D は P を中心とする円の円周上にある。
よって
∠DPC = ∠DAC = 60°なので
∠DFC = ∠DPC/2 = 30°である。
@ が示せた
∠PDA = ∠PCD
∠PDF = ∠PFD
∠FDB = ∠CFD + ∠FCD
なので
∠FDB = ∠FDA

DF が ∠ADB の二等分線であり
BE が ∠ABD の二等分線なので
H は 僊BD の内心である
Aが示せた
A により、G が
僊DC の内心であることがわかる。
DF が∠ADB の二等分線であり
DE が∠ADC の二等分線なので
∠FDG = 90°である
AG が∠の二等分線なので
∠DAG = 30°である
∠BAD = 60°なので
∠FAG = 90°である
以上より A, D が FG を直径とする
円の円周上にあることがわかる
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角度の問題

∠BAC = 2α, ∠BCA = 2β
∠CAD = 90°- α, ∠ACD = 90°- β のとき
∠BDC = α であることを示せ
こちらの方が一般であり
易しい問題になります。
題意の図は相似の意味で
一意的に定まるので
答えがわかるように題意の図を作図します

∠BAC = 2α, ∠BCA = 2β
の 僊BC を作図します
図のように
僊BC の外接円上に点 O を
OA = OC
となるようにとる。
∠BOC = ∠BAC = 2α, ∠BOA = ∠BCA = 2β で
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 2α + 2β であり
∠OAC = ∠OCA = 90°- α - β  である。
BO の延長上に点 D を
OD = OA = OC となるようにとる。
このとき
∠OAD = ∠ODA = ∠AOB/2 = β
∠OCD = ∠ODC = ∠BOC/2 = α である
∠OAC = ∠OCA = 90°- α - β  だったので
∠CAD = 90°- α, ∠ACD = 90°- β である
そして
∠BDC = α である
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直角三角形と垂線と内接円と相似

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形
D は A から BC に下ろした垂線の足
I, J, K は各々 僊BC, 僊BD, 僊DC の
内心 とする。このとき次を示せ

@ 僊JD ∽ 僊IK である。

A B, C, K, J は同一円周上にある

B 僮JK ∽ 僵CA である。

C 僖JK ∽ 僊BC である。
@ について

∠IAC = 45°= ∠JDA
∠IKA = ∠KAC + ∠KCA = 45°
∠KCA = ∠DAC なので
∠JDA = 45°= ∠IKA
∠JAD = ∠ICA = 45°- ∠KAC = ∠IAK
従って
僊JD ∽ 僊IK である。
A について

a = BC, b = CA, c = AB
q = BI/BC, r = CK/BC
とおく
BI = aq, CI = ar
AK = bq, CK = br
BJ = cq, AJ = cr であり
IJ×IB = (aq-cq)×aq
IK×IC = (ar-br)×ar である
次に示すように
(a-c)aq2 = (a-b)ar2 なので
IJ×IB = IK×IC
よって B, C, K, J は同一円周上にある。
(a-c)aq2 = (a-b)ar2 の証明

L, M, N を各々 I から辺 BC, CA, AB に
下ろした垂線の足とする
四辺形 ANIM は正方形であり。
BN = (a + c - b)/2
IN = AN = (b + c - a)/2 である
IB2 = BN2 + IN2 なので
4(aq)2 = 4IB2 = (a + c - b)2 + (b + c - a)2
 = 2c2 + 2(a-b)2 = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 4ab
 = 4a2 - 4ab = 4a(a-b)
つまり
aq2 = (a-b)
同様に ar2 = (a-c)
直角三角形と内心 を使うほうが簡単でした
B について

B, C, K, J が同一円周上にあるので
僮JK ∽ 僮CB
明らかに 僮CB ∽ 僵CA なので
僮JK ∽ 僵CA である。

C について

DJ, DK は各々
∠BDA, ∠ADC の二等分線なので
∠JDK = 90°である。
DJ : DK = DB : DA = AB : AC である。
よって
 僖JK ∽ 僊BC である。
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直角三角形と内心

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形として
I はその内心とする
D は BC 上の点で CD = CAとする
このとき、次を示せ

@ BI は 僮DC の外接円に接している
A BI2 = a(a-b)
B BI2 : CI2 = a-b : a-c
   ここで   a = BC, b = CA, c = AB としている。
E を BI の延長線上の点とする。
∠ABC + ∠ACB = 90°で
IB は ∠ABC の二等分線で
IC は ∠ACB の二等分線なので
∠EIC = 45°である。
IA は ∠BAC の二等分線なので
∠IAC = 45°
僮DC ≡ 僮AC なので
∠IDC = ∠IAC
よって
∠EIC = 45°= ∠IDC
故に EI は 僮DC の外接円に接している。

A、B は @ の直接の結果
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直径と二つの弦と二つの外接円

AB を直径とする円の
二本の弦 AC と BD が円内の点
E で交わっている。
P を 僂DE の外心とし
AB と PE の延長との交点を F とする。
このとき P, D, F, O, C が
同一円周上にあることを示せ。
PO が当該の円の直径であることを示す
つまり
∠PCO = ∠PDO = ∠PFO = 90°を示す。

∠ACO = ∠BAC = ∠BDC なので
OC は 僂DE の外接円の接点である
よって ∠PCO = 90°である
同様に ∠PDO = 90°である。

∠FAE + ∠AEF = ∠ACO + ∠PEC
= ∠ACO + ∠PCE = ∠PCO = 90°
なので
∠AFE = 90°である。
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4つ目の外接円

図において
A, B, C, D は一直線上にある
E, F, G, H は一直線上にある
A, B, M, F, E は同一円周上にある
B, C, G, F は同一円周上にある
C, D, H, G, N は同一円周上にある
A, M, H は一直線上にある
E, N, D は一直線上にある
P は二直線 MB と HC との交点
Q は二直線 NC と EB との交点
とする。このとき次を示せ

B, P, Q, C は同一円周上にある
∠PBQ = ∠PCQ を示す

その為に

∠EBM = ∠HCN を示す
その為に

∠EAM = ∠HDN を示す
その為に

∠EAH = ∠HDE を示す

これは
∠AEF = ∠FBC = ∠GH なので
∠AEH + ∠ADH = ∠CBH + ∠CDH = 180°
よって四辺形 EADH が円に内接しているので
示せる。
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外接線と内接線と割線

図のように
円 A 上の点 C, F と円 B 上の点 D, G を
CD が二円の共通外接線、
FG が二円の共通内接線
であるようにとる
E は CD と FG との交点とする。
直線 CF と円 B との交点を H, M とする。
GN を円 B の直径とする。
HM と GN と交点を K とする。このとき

GM が 僭KM の外接円と接していることを示せ
@ ∠DMC = ∠MGN 
を示す

A DN と HM は平行である
 これを示す。
これが示せたら 孤HD と孤MN に対応する
円周角が等しいので @が示せる。
B EB と CM は平行である
これを示す。
EC = EF であり
EB が ∠GED の二等分線なので
CF と EB は平行である
B が示せた
C DN と EB は平行である
これを示す
BD = BN であり
BE が ∠GBD の二等分線なので
DN と EB は平行である
C が示せた

B、C より A が示せる。
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垂心と垂線

図において
D, E, F は 僊BC の頂点 A, B, C から
各々辺 BC, CA, AB に引いた垂線の足
H, G, M, N は点 D より
AB, AC, BE, CF に引いた垂線の足
I は 僊BC の内心から DE に引いた
垂線の足とする
このとき、次を示せ

@ H, M, N, G は同一直線上にある
A FE と HG は平行である
B MN = DK である

∠BHD = 90°= ∠BMD なので
四辺形 HBDM は円に内接している。
よって ∠HMB = ∠HDB
∠DHB = 90°= ∠ADB なので
∠HDB = ∠DAB
よって ∠HMB = ∠DAB
∠AFN = 90°= ∠FND なので
∠DAB = ∠IDN
∠IMD = 90°= ∠IND なので
四辺形 IMDN は円に内接している。
よって ∠IDN = ∠IMN
故に ∠DAB = ∠IMN
∠HMB = ∠DAB だったので
∠HMB = ∠IMN
よって H, M, N は一直線上にある
同様に M, N, G も一直線上にある
@ が示せた
∠BEC = 90°= ∠BFC なので
四辺形 FBCE は円に内接している。
よって ∠AFE = ∠ECB
∠BEC = 90°= ∠BMC なので
∠ECB = ∠MDB
四辺形 HBDM は円に内接していたので
∠MDB = ∠AHM
よって ∠AFE = ∠AHM
故に FE と HG は平行である。
∠IMD = ∠IND = ∠IKD = 90°
なので I, M, D, N, K は
ID を直径とする円周上にある。
MN = DK を示すために
∠MDN = ∠KID を示す
四辺形 IMDN が円に内接しているので
∠MDN = 180°- ∠MIN
∠MIN = ∠FIE である。
四辺形 AFIE が円に内接しているので
∠FAE = 180°- ∠FIN
よって ∠MDN = ∠FAE
∠IKD = 90°なので
∠KID = 90°- ∠IDK
四辺形 IDCE が円に内接しているので
∠IDE = ∠ICE
∠AFC = 90°なので
∠FAE = 90°- ∠FCE
よって ∠KID = ∠FAE
以上より ∠MDN = ∠KID
よって B が示せた。
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60°の三角形と垂心

僊BC において ∠ABC = 60°とする。
H は 僊BC の垂心
D, E, F は 僊BC の頂点 A, B, C から
各々辺 BC, CA, AB に引いた垂線の足とし
M は BH の中点とする。
CM の延長線上に点 G を
GM = MC となるようにとる。
K を AG の中点とするとき次を示せ。

僵BH は正三角である。
BH と CG が互いに他を二等分するので
四辺形 GBCH は平行四辺形である。特に
@ GB と HC は平行
A GH と BC は平行
B ∠HGB = ∠HCB
である
AB と CH は直交しているので
@ より ∠ABG = 90°
BC と AH は直交しているので
A より ∠AHG = 90°
よって
A, H, B, G は AG を直径とする
円の円周上にある。
∠FCB = 90°- ∠FBC = 30°であるので
B より ∠HGB = 30°
K は 四辺形 AGBH の外接円の中心なので
∠BKH = 2∠BGK = 60°
よって 僵BH は正三角形である
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角度の問題

図において
AB = AD で ∠ABD = 14°
∠CBD = 16°, ∠CDB = 8°
とするとき

∠BAC = 38°であることを示せ。

(かなりの難問と思います)

解説

相似の意味で一意的に定まるので
答えがわかるように
題意の図を作図しよう

これを、参考にします。

正三角形 DKM を画く
MK = MA, ∠AMK = 76°の
二等辺三角形 儁AK を画く
AC = AM, ∠CAM = 92°の
二等辺三角形 僊CM を画く

∠AMC = 44°、∠AMK = 76°、∠KMD = 60°
なので、 C, M, D は一直線上にある
∠ADC = ∠DAM = (∠AMC)/2 = 22°
∠KDA = 60°- ∠ADC = 38°
∠KAD = ∠KAM - ∠DAM = 52°- 22°= 30°
∠CAD = ∠CAM + ∠MAD = 92°+ 22°= 114°
AC = AM = MK = KD
である
AC = KD だった。
図のように点 B を
僂AB ≡ 僵DA
となるようにとる。

∠CAB = ∠KDA = 38°
AD = AB, ∠BAD = 38°+ 114°= 152°
∠ABC = ∠DAK = 30°
である。
AD = AB, ∠BAD = 38°+ 114°= 152°
なので
∠ABD = ∠ADB = 14°
∠ABC = 30°、∠ABD = 14°より ∠CBD = 16°
∠ADC = 22°、∠ADB = 14°より ∠CDB = 8°
であり、∠BAC = 38°である。
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角度の問題((30 + a)°)

図において
D は 僊BC の頂点 A から
辺 BC に下ろした垂線の足とする。
∠BAD = (30 + a)°, ∠CAD = (60 + a)°とする
E は AD 上の点で
∠ACE = (30 - 2a)°とする。このとき

∠EBC = 3a°であることを示せ。

(a = 6 の場合が、もとの問題)
一般形です
補題1

僊DE は ∠ADC = 90°の直角三角形で
∠CAD = (60 + a)°とする
F は DC 上の点で ∠DAF = (30 + a)°で
E は AD 上の点で ∠ACE = (30 - 2a)°とする。
このとき
∠EFD = 3a°であることを示せ
これが示せたら、本題は自明
題意の図は相似の意味で
一意的に定まるので
答えがもとまるよう
題意の図を作図すればよい
補題2

∠GEC = ∠GCE = (30-2a)°
∠FEC = 2a°, ∠FCE = a°
∠EGF = (30+a)°
なる四角形 EFCG を作図せよ
補題2を認めての補題1の図の作図

D を E から FC に下ろした垂線の足
A を DE と CG との交点とおく

これで補題1の図が得られていることを示す
∠DAC = 90°- ∠ACD
  = (90-(30-2a)-a)°= (60+a)°
180°- ∠GFE = ∠FEG + ∠FGE
 = (2a + (30-2a) + (30+a))°
 = (60+a)°
であるから四辺形 AEFG は円に内接している
ここで
∠ADC = 90°
∠DAC = (60+a)°
∠DAF = ∠EGF = (30+a)°
∠ACE = (30-2a)°
であり
∠DFE = ∠FEC + ∠ECF = 3a°
となり、求める図が作図される。
補題2

∠GEC = ∠GCE = (30-2a)°
∠FEC = 2a°, ∠FCE = a°
∠EGF = (30+a)°
なる四角形 EFCG を作図せよ
これに取り組もう
正三角形 僂KM を描く
MK = MG, ∠KMG = (60+2a)°の
二等辺三角形 儁KG を描く
GM = GF, ∠MGF = (60+4a)°の
二等辺三角形 僭FM を描く

∠GMF = (60-2a)°、∠AMK = (60+2a)°、 ∠KMD = 60°
なので、 F, M, C は一直線上にある
∠MGC = ∠MCG = (∠GMC)/2 = (30-a)°
∠KCG = 60°- ∠MCG = (30+a)°
∠KGC = ∠KGM - ∠CGM  = (60-a)°- (30-a)°= 30°
である。

KC = KM = GM = GF である。

僥GE ≡ 僵CG なる 僥GE を描く
GC = GE, ∠EGF = ∠GCK = (30+a)°,
∠FEG = ∠KGC = 30°である
∠EGC = ∠EGF + ∠FGM + ∠MGC = ((30+a)+(60+4a)+(30-a))°
で GC = GE なので
∠GEC = ∠GCE = (30-2a)°
である。
∠FEC = ∠FED - ∠CEG = (30 - (30-2a))°= 2a°
∠ECF = ∠GCM - ∠GCE = ((30-a) - (30-2a))°= a°
であり
∠EGF = ∠GCK = (30+a)°
である。
補題2が示せた。
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円に外接する四辺形と長さ

四辺形 ABCD は円に外接しているとする。
T を対角線 AC と BD との交点とする。
T から辺 AB, BC, CD, DA 各々に
下ろした垂線の足を各々 K, L, M, N とおく
h1 = TK, h2 = TL, h3 = TM, h4 = TN
とおくとき、次が成り立つことを示せ。

1/ h1 + 1/h3 = 1/ h2 + 1/h4

類題

儺AB, 儺BC, 儺CD, 儺DA 各々の内接円の
半径を
r1, r2, r3, r4
とおくとき、次が成り立つことを示せ。

1/ r1 + 1/r3 = 1/ r2 + 1/r4

補題1

四辺形 ABCD の内接円と
辺 AB, BC, CD, DA との接点を各々
E, F, G, H とおく
a = AE ( = AH), b = BF ( = BF)
c = CG ( = CF), d = DH ( = DG) とおき
儺AB, 儺BC, 儺CD, 儺DA 各々の面積を
S1, S2, S3, S4
とおくとき、次が成り立つことを示せ。

S1 : S2 : S3 : S4 = ab : bc : cd : da

補題2

補題1の記号のもと
α = TA, β = TB, γ = TC, δ TD とおくとき
次が成り立つことを示せ

@ S1 : S2 : S3 : S4 = αβ : βγ : γδ : δα
A α : γ = a : c,
  β : δ : b : d

補題3

補題1の記号のもと
EG, HF, AC, BD は一点で交わる
ことを示せ
補題1を認めての本題の証明

2S1 = AB×h1 = (a+b)h1, 2S2 = BC×h2 = (b+c)h2,
2S3 = CD×h3 = (c+d)h3, 2S4 = DA×h4 = (d+a)h4
なので、補題1より
(a+b)h1 : (b+c)h2 : (c+d)h3 : (d+a)h4
= ab : bc : cd : da
よって
(a+b)h1/(ab) = (b+c)h2/(bc)
 = (c+d)h3/(cd) = (d+a)h4/(da)
これを t とおくと
t/h1 = 1/a + 1/b, t/h3 = 1/c + 1/d
t/h2 = 1/b + 1/c, t/h4 = 1/d + 1/a
を得て、求める結果
1/ h1 + 1/h3 = 1/ h2 + 1/h4
を得る。
補題1、2を認めての類題の証明

2S1 = (a+b+α+β)r1,
2S2 = (b+c+β+γ)r2,
2S3 = (c+d+γ+δ)r3,
2S4 = (d+a+δ+α)r4
である。補題2の @ より
(a+b+α+β)r1/(αβ) = (b+c+β+γ)r2/(βγ)
 = (c+d+γ+δ)r3/(γδ) = (d+a+δ+α)r4/(δα)
である。これを u とおくと
u/r1 + u/r2
= (a+b)/(αβ) + (c+d)/(γδ)
+ 1/α + 1/β + 1/γ + 1/δ
u/r2 + u/r4
= (b+c)/(βγ) + (d+a)/(δα)
+ 1/α + 1/β + 1/γ + 1/δ
である。
補題2の A より
α/a = γ/c これを v とおく
β/b = δ/d これを w とおく。このとき
αβ = vwab, γδ = vwcd,
βγ = vwbc, δα = vwda なので
(a+b)/(αβ) + (c+d)/(γδ)
= (b+c)/(βγ) + (d+a)/(δα)
よって 1/ r1 + 1/r3 = 1/ r2 + 1/r4 が示せた

補題2を認めての補題1の証明



補題2の A より
α/a = γ/c これを v とおく
β/b = δ/d これを w とおく。このとき
αβ = vwab, γδ = vwcd,
βγ = vwbc, δα = vwda なので
αβ : βγ : γδ : δα = ab : bc: cd : da である。
これと補題2 @ より
S1 : S2 : S3 : S4 = ab : bc : cd : da を得る

補題3を認めての補題2の証明

θ = ∠ATB とおくと
sin θ = sin (180°- θ) であり
2S1 = αβ sin θ ,
2S2 = βγsin (180°- θ),
2S3 = γδsin θ ,
2S4 = δαsin (180°- θ)
なので @ が示せた。
AB と CD が平行のときは
儺AB ∽ 儺CG なので
TA : TC = AE : CG
つまり α : γ = a : c
BA の延長と CD の延長が交わるとき
∠AET = ∠DGT である。
C を通り AB と平行な直線と
EG の延長との交点を I とおくと
儺AB ∽ 儺CI なので
TA : TC = AE : CI
また
∠CIG = ∠AET = ∠DGT = ∠CGI
よって CI = CG
TA : TC = AE : CG
つまり α : γ = a : c を得る
AB の延長と DC の延長が交わるときも
同様に α : γ = a : c を得る
故にいつも α : γ = a : c を得る
同様に β ; δ = b : d である
補題3の証明

単なる好みの問題ですが、
記号が変えてあります
四辺形 EFGH が円に外接し、
各辺との接点を A, B, C, D とする
AC と BC との交点を P とし
P が EG, FH 上にあることを示す。

適当に座標をいれて、四辺形の内接円を
単位円とする。
点 A 〜 H、P に対応する複素数を
各々 a 〜 h, p とおく
一般に a, b が長さ1の複素数とすると
a, b を通る直線の方程式きは
z + abz = ab
a での単位円の接線の方程式は
z + a2z = 2a
である。 これを使おう
p が a と c を結ぶ直線上にあり、
b と d と c を結ぶ直線上にあるので
@ p + acp = a+c
  p + bdp = b+d
f が単位円の a における接線上にあり
b における接線上にあるので
A f + a2f = 2a
  f + b2f = 2b
h が単位円の c における接線上にあり
d における接線上にあるので
B h + c2h = 2c
  h + d2h = 2d
である。
φ = fh + hp + pf - fh + hp + pf
とおく。
φ = 0 を示そう。これが示せたら
f, p, h が一直線上にあることがわかる。
@ より
acp = a+c-p
bdp = b+d-p
A、Bより
(a+b)f = 2
(a+b)f = 2ab
(c+d)h = 2
(c+d)h = 2ab
である。従って
(a+b)(c+d)φ
= (a+b)f(c+d)h + (a+b)(c+d)hp + (c+d)p(a+b)f
 - (a+b)f(c+d)h - (a+b)(c+d)hp - (c+d)p(a+b)f
= 4ab + 2cd(a+b)p + 2(c+d)p - 4cd - 2(a+b)p - 2ab(c+d)p
= 4ab - 4cd + 2cp + 2dp - 2ap - 2bp
  + 2dacp + 2cbdp - 2bacp - 2abdp
= 4ab - 4cd + 2cp + 2dp - 2ap - 2bp
+ 2d(a+c-p) + 2c(b+d-p) - 2b(a+c-p) - 2a(b+d-p) = 0
(a+b)(c+d) ≠ 0 より φ = 0 をえる
p は f と h を結ぶ直線上にある。
同様に
p は e と g を結ぶ直線上にある。
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直角三角形と二等辺三角形と中点

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形
僊DC は DA = DC の二等辺三角形
E は BC の中点とし、
F は AD の中点とする
このとき、次を示せ。

BD = 2EF である

補題

今までの記号のもと
EF の延長と AB との交点を G
AB の中点を H, BD の中点を K とおく
このとき次が成り立つことを示せ
@ DE と AB は平行である
A FE = FG = FH である。
B HBKF は平行四辺形をなす。
@ の証明

M を AC の中点とおくと
DA = DC なので
DM は AC の垂直二等分線である
BA, DM は共に AC と直交しているので
BA, DM は平行である
M が AC の中点なので、
DM は BC の中点 E を通る。
よって、 DE は BA と平行である。
A の証明

DE と AG が平行で
AF = DF なので
僖EF ≡ 僊GF である
よって EF = FG
∠EHG = 90°で EF = FG なので
FH = FE = FG である。
A が示せた。
B の証明

F, H, K は各々
AD, AB, BD の中点なので
HBKE は平行四辺形をなす。
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円に外接する四辺形と直交する弦

四辺形 EFGH は円に外接しているとする。
その円と、辺 HE, EF, FG, GH 各々との接点を
A, B, C, D とする
4直線 EG, FH, AC, BD が一点で交わっている
(参照) その交点を P とする。
AC と BD が直交しているとき
次が成り立つことを示せ。

PB は ∠EPF の二等分線である

四辺形 EFGH の内接円が単位円となるよう
座標をいれて、複素数平面で証明する。
単位円の幾何学
a, b を長さが 1 の複素数とするとき
a = 1/a
a, b を通る直線の方程式は
 z + abz = a+b
a における単位円の接線の方程式は
 z + a2z = 2a
これを使う
A 〜 H に対応する複素数を a 〜 h とおく
a, b, c, d は長さが 1 の複素数である。
AC と BD が直交しているので
@ ac + bd = 0
である。
E が単位円の A における接線上にあるので
e + a2e = 2a
であり、同様に
e + b2e = 2b
である。
従って
(a+b)e = 2, (a+b)e = 2ab を得る。
同様に他もいえる。つまり次がいえる。
A (a+b)e = 2, (a+b)e = 2ab
  (b+c)f = 2, (b+c)f = 2bc
  (c+d)g = 2, (c+d)g = 2cd
  (d+a)h = 2, (d+a)h = 2da
PB が ∠EPF の二等分線であることを
示すためには
(e-g)(f-h) が (b-d)2 の実数倍であること、つまり
η = (e-g)(f-h)(b-d)2 - (e-g)(f-h)(b-d)2
とおくとき η = 0 を示せばよい。次を示す。

B (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)b2d2 η = 0

b2d2(b-d)2 = (b-d)2 なので

C (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)(e-g)(f-h)
- (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)b2d2 (e-g)(f-h) = 0

を示せば、B が示せる。
実際次を示す。

D (a+b)(c+d)(e-g) = bd(b+c)(d+a)(f-h)
  (b+c)(d+a)(f-h) = bd(a+b)(c+d)(e-g)
A を利用して
(a+b)(c+d)(e-g) = (2(c+d)-2(a+b)) = 2(c+d-a-b)
(b+c)(d+a)(f-h) = (2(d+a)-2(b+c)) = 2(a+d-b-c)
また @ より ac = -bd, これと A を利用して
(a+b)(c+d)(e-g) = (2ab(c+d)-2(a+b)cd)
 = 2(abc+abd-acd-bcd)
 = 2(-b2d+abd+bd2-bcd)
 = 2bd(-b+a+d-c)
(b+c)(d+a)(f-h) = (2bc(d+a)-2(b+c)ad)
 = 2(bcd +abc-abd-acd)
 = 2(bcd-b2d-abd+ad2)
 = 2bd(c-b-a+d)
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30°問題

図において
∠ABC = 84°、∠ACB = 42°
∠DBC = 30°、∠ACD = 30°
僂DE は正三角形とする。
このとき AE が BD を垂直二等分する
  ことを示せ。

題意の図は相似の意味で一意的に
定まるので
答えがでるよう題意の図を作図しよう

∠ABC = 84°、∠ACB = 42°
なる 僊BC を描き
BC 上に点 F を
∠CAF = 42°( = ∠ACB) となるようにとる。

FA = FC である。
∠AFB = ∠ABF なので
AB = AF である。
正三角形 AFD を描く。
AB = AF = AD に注意しておく
AB = AF = AD なので
B, F, D が A を中心とした
同一円周上にあり
∠DAF = 60°なので ∠DBC = 30°である
A, D, C が F を中心とした
同一円周上にあり
∠AFD = 60°なので ∠ACD = 30°である
E を 傳CD の外心とすると
∠CED = 2∠CBD = 60°なので
僂DE は正三角形である
題意の ABCD が描けた。
AB = AD, EB = ED なので
AE は BD を垂直二等分している。
∠ABC = 84°、∠ACB = 42° としたが
∠ABC = 2a、∠ACB = a の形でよい
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二つの正方形と二つの直角二等辺三角形

問題を変えて
図において
四辺形 ABDE と ACFG は正方形とする。
儁BC を ∠BMC = 90°の
直角二等辺三角形とするとき
M が DF の中点で
傳EG が直角二等辺三角形であることを示す。

複素数平面で示す。
M が原点 0 となるように座標をいれ
A 〜 G に対応する複素数を a 〜 g とし
i を虚数単位とする。
題意より
@ c = ia
A d-b = i(a-b), f-c = -i(a-c)
B e-a = -i(b-a), g-a = i(c-a)
である。
@、A より f = -d を得て
@、B より e = ig を得る
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三角形と一点で会する3直線

D, E, F を各々 僊BC の
辺 BC, CA, AB 上の点で
DE ‖ AB, DF ‖ AC とする。
G を BE と DF の交点とし、
H を DE と CF の交点とする
J を BH と AC の交点とし、
K を CG と AB の交点とする
このとき次を示せ。

(1) GH は BC と平行である。
(2) AD, BJ, CK は一点で交わる
(3) BE, CF, JK は一点で交わる
(4) EF, GH, JK は一点で交わる
以後
BD : DC = m : n とおく。このとき
DE ‖ AB, DF ‖ AC より
@ AE : EC = m : n
  FH : HC = m : n
  BF : FA = m : n
  BG : GE = m : n
  DH : HE = m : n
  FG : GD = m : n
M を BE と CF の交点とするとき
A FM : MH = (m+n)m : n2
  BM : ME = (m+n)m : n2
  EM : MG = (m+n)n : m2
  CM : MF = (m+n)n : m2
である。
@ はいいでしょう 。
Aを示す。
FM : MH = BF : EH
 = BF/AB : (EH/ED)(ED/AB)
 = m/(m+n) : (n/(m+n))2
 (m+n)m : n2
BM : ME = FM : MH = m/(m+n) : (n/(m+n))2
残りも同様に示せる。
@ より
EG : GB = n : m = EH : HD である。
よって GH ‖ BD ( (1) が示せた)
B CJ : JE = m+n : n
  AJ : JC = m+n : n
  BK : KF = m+n : m
  AK : KB = m+n : m
である。
A より
EM : MB = n2 : (m+n)m
BD : DC = m : n
だったので
僞BC と ED, BJ, CM に関して
チェバの定理を適用して
CJ : JE = m+n : n
AJ/AC = AE/AC + (EJ/EC)(EC/AC)
 = m/(m+n) + (n/(m+2n))(n/(m+n))
 = (m+n)/(m+2n)
よって
AJ : JC = m+n : n
残りも同様に示せる。
B より
AJ : JC = m+n : n で
AK : KB = m+n : m
である。
BD : DC = m+n
だったのでチェバの定理より
AD, BJ, CK が一点で交わることがわかる。
(2) が示された。
CK と BE の交点を R とおく
KG : GR = BG : GE = m : n
KR : RC = m : n
なので
KG : KC = m2 : (m+n)2
B より
CJ : JE = m+n : n
A より
EM : MG = (m+n)n : m2
よって、メネラウスの定理より
M は KJ 上にある。 (3) が示せた。
C AK : KF = (m+n)2 : m2
  AJ : JE = (m+n)2 : n2
D FP : PE = m2 : n2
である。
実際
B より   BK : KF = m+n : m
BF : FA = m : n なので
AK : KF = AF/AB + (FK/BF)(BF/AB) : (FK/BF)(BF/AB)
 = n/(m+n) + (m/(2m+n))(m/(m+n)) : (m/(2m+n))(m/(m+n))
 = (m+n)2 : m2
同様に
AJ : JE = (m+n)2 : n2

EF と JK との交点を P とおく
僊FE と直線 JP に関して
メネラウスの定理を適用して
FP : PE = m2 : n2
僖EF と、P, G, H に関して
@ 及び D より
DG : GF = n : m
FP : PE = m2 : n2
EH : HD = n : m
なので
メネラウスの定理より
P, G, H は同一直線上にある。
(4) が示せた。
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40°の菱形と対角線

図において
四辺形 ABCD は菱形で ∠BAD = 40°とする
CB の延長上に点 E を
CE = CA
とする
このとき

∠DEC = 30°

であることを示せ

問題を変えて
E を ∠DEC = 30°となるようにとり
CE = CA を示す。

AC は BD の垂直二等分線である
図のように F を
僥BD が正三角形となるようにとる。
F は AC 上にある。

FD = FB で ∠DAB = 60°で ∠DEB = 30°なので
E, D, B は F を中心とする同一円周上にある。
∠DCE = 40°, ∠DEC = 30°, ∠BDC = 70°なので
∠EDB = 40°である。
よって ∠EFB = 80°である。

図のように正三角形 僞FG を描く
FE = FB で 僥GE, 僥DB が正三角形なので
GD は EB と平行である。
AD と BC が平行だったので
A は GD 上にある。
∠CFB = 30°, ∠BFE = 80°, ∠EFG = 60°なので
∠AEG = 10°である。
∠DAC = 20°なので ∠AGE = 10°
よって AG = AE
AG = AF で EG = EF なので
AE は ∠GEF の二等分線である。
∠AEC = ∠AEF + ∠FEB = 80°
∠ACE = 20°なので ∠CAE = 80°である。
故に CA = CE である。
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左の図は
次の問題の解答になっています。

僊BC は AB = AC, ∠BAC = 20°の
二等辺三角形で
D, E は各々辺 AC, AB 上の点で
∠CBD = 60°, ∠BCF = 30°
とするとき
∠BDF = 10°を示せ
二つの正三角形と内接円と傍接円

図において
僊BC は正三角形
D は AC の中点で、E は AD の中点
傳FE は正三角で
G は BD の中点で,
H は BC と GF との交点とする
このとき

G が 僊BH の内接円の中心(内心)
F が 僊HC の傍接円の中心(傍心)で
この二つの円の大きさが同じ
であることを示せ
僊BE は 僂BF を B を中心として
60°回転したものであり
互いに合同である。
G, F から BC に下ろした垂線の足を
各々 K, L として
G, E から AB に下ろした垂線の足を
各々 M, N とする
BD が ∠ABC の二等分線なので
GK = GM
G が BD の中点、E が AD の中点なので
GE は AB と平行
よって GM = EN
僊BE ≡ 僂BF
なので EN = FL
よって GK = FL
以上より H は KL の中点である。

正三角形 ABC の一辺の長さを 40 とおく
AE = 10 となり
CL = AN = AE/2 = 5 なる。
BG = 10 なので BK = 15 である
よって BH = 25 で HC = 15 である

AH2 = AC2 + CH2 - 2AC×CH cos 60°
 = 1225 = 352
AG2 = AM2 + GM2  = 700
GH2 = GK2 + KH2 = 175
(BH2 + GH2 - BG2)/BH = 20
(AH2 + GH2 - AG2)/AH = 20
よって cos ∠BHG = cos ∠AHG
HG は ∠AHB の二等分線
BG が ∠ABH の二等分線だったので
G は 僊BH の内心である
CF が ∠ACB の外角の二等分線なので
F は 僊HC の傍心である
結果的に次が成り立っています。

@ BK/BC = 5/8, EH ⊥ BC
  H, D は BE を直径とする円周上にある。
A AH = BL = (7/8)BC
B GA = GF = FD

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