解答
僊BC の外接円は
単位円として
一般性を失わない
複素数平面で考えよう
A,B,C,D,E,F,P,Q,R に
対応する複素数を各々
a,p,c,d,e,f,p,q,r とする
aa =
bb =
cc = 1
である。
長さが 1 で偏角 120°
の複素数を
ω とおく
ω3 = 1 で
1+ω+ω2 = 0
であり
(1-ω)(1-ω2)
= 2 - ω - ω2 = 3
(1-ω)2+(1-ω2)2
= 2 - ω - ω2 = 3
である
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図のように b,g,c が
正三角形をなすとする
g + ωc + ω2b = 0 より
g = -ωc-ω2b
である。
(参考)
3d = b+g+c
= (1-ω2)b+(1-ω)c
同様に
3e = (1-ω2)c+(1-ω)a
3f = (1-ω2)a+(1-ω)b
図のように b,c, h が
正三角形をなすとする
h + ωb + ω2c = 0 より
h = -ωb + -ω2c
である。
よって
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3p = b+c+h
= (1-ω)b+(1-ω2)c
同様に
3q = (1-ω)c+(1-ω2)a
3r = (1-ω)a+(1-ω2)b
一般に複素数 z に対して
Im(z + z) = 0,
Im(zz) = 0
である
3d = (1-ω2)b+(1-ω)c
3e = (1-ω2)c+(1-ω)a
3f = (1-ω2)a+(1-ω)b
であった
ω
= ω2,
ω2
= ω なので
3d =
(1-ω)b+
(1-ω2)c
3e =
(1-ω)c+
(1-ω2)a
3f =
(1-ω)a+
(1-ω2)b
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9(de +
pq)
=
(1-ω)(1-ω2)bc
+ (1-ω)2ba
+ (1-ω2)2
+ (1-ω)(1-ω2)ca
+ (1-ω)(1-ω2)bc
+ (1-ω2)2ba + (1-ω)2
+ (1-ω)(1-ω2)ca
= 6bc +
6 ca +
3 ba + 3
よって
9Im(de +
pq)
= 6Im(bc +
6 ca -
3 ab)
である
同様にして
9Im(ef +
qr)
= 6Im(ca +
6 ab -
3 bc)
9Im(fd +
rp)
= 6Im(ab +
6 bc -
3 ca)
なので
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Im(
de +
ef +
fd +
pq +
qr +
rp )
=
Im(
ab +
bc +
ca)
複素数を使った面積より
僊BC の面積の２倍
= Im(
ab +
bc +
ca)
僖EF の面積の２倍
= Im(
de +
ef +
fd)
儕RQ の面積の２倍
= Im(
pr +
rq +
qp)
= -Im(
pq +
qr +
rp)
なので
求める結果を得る
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