直角三角形と 二つの円 接線と 直角三角形と円 に関する問題です 正しいか否かは未検証です Go Geometryにあった問題を参考にしました 問題は次に続きます

問題 図において �傳OS は ∠OBS = 90°の 直角三角形である。 円 O は OB を半径とする円 円 S は SB を半径とする円 C は円 O と円 S との もう一つの交点とする	円 O に内接する四辺形 BACD を描く	直線 AB と CD との交点を E 直線 AB と BD との交点を F とする。

このとき �@　S は線分 EF 上にある。	E から円 O に引いた 接線の接点の一つを G F から円 O に引いた 接線の接点の一つを H とする	円 EG (E を中心とし半径 EG の円)と 円 FH との交点を I, J とする

この時 �A ∠EJF = 90°である。	�B　I, J は円 S 上にある。 �C　O, I, J は一直線上にある。 (�@、�A、�B　を示せ) (�A　は基本的に Go Geometry にあった部分でです) �B　は正しいと思うのですが

解説 a = AD, b = CE とおく BJ = ab/(a+b) である。(理由はあとで) 求める円の半径が ab/(a+b) を示せばよい	a ≥ b として説明します 図の求める円の中心を V とし 半径を r とする。 W を P から AB に下ろした垂線の足とする。 OW + WE = OE = a a(OW - WE) = OW2 - WE2 = OV2 - VE2 　= (a+b-r)2 - (b+r)2 　= a2 + 2a(b-r) - 4br a OW = a2 + a(b-r) - 2br である。 OC = AC - AO = 2a - (a+b) = a - b なので ar = a CW = a(OW - OC) 　= 2ab - ar - 2br よって r = ab/(a+b)	a = AD, b = CE とおく BJ = ab/(a+b) である。 理由 方べきの定理より CF2 = AC × CF = 4ab また HB = GB = FC である。 AG と H が平行なので AB × BI = HB × GB = CF2 = AC × CF = 4ab AB = 2(a+b), BJ = BI/2 なので BJ = ab/(a+b) である。