正方形と菱形と外接円


正方形と菱形と外接円図において四辺形 ABCD は正方形で四辺形 EBCF は菱形とする G は直線 CE と FD の交点 H は直線 AE と BF の交点とする	問題１ G, H は正方形 ABCD の外接円の円周上にある問題１の略解答　　問題３、４　　まとめ問題

更に菱形 ABEI を描くこのとき	問題２ BI, CE, FD は一点で交わり AE, BF, ID は一点で交わる問題２の解答へ

問題３菱形がこちらでも成り立つ問題３の略解答	問題４菱形がこちらでも成り立つ問題４の略解答　 Top に戻る

問題１の略解答


∠CGD = 45°を示す	B, D, F は C を中心とする円周上にあり ∠BCD = 90°なので ∠BFD = 45°である	CE と BF が直交し ∠BFD = 45°なので ∠CGF = 45°である

正方形 ABCD はその中心 O を中心とする円に内接し ∠COD = 90°, ∠CGD = 45°なので G もその円の円周上にある。	A, E, C は B を中心とする円上にあり ∠ABC = 90°なので ∠AEC = 135°である。	CE と BF が直交し ∠AEC = 135°なので ∠AHB = 45°である。よって H は正方形 ABCD の外接円上にある Top に戻る

問題２の略解答


直線 FD と BI との交点を G' とおく G = G' を示す ∠ABC = 90°であり BI が ∠ABE の二等分線で BF が ∠CBE の二等分線なので ∠FBI = 45°である。 CB = CD = CF で ∠BCD = 90°より ∠BFD = 45°である。	∠G'BF = 45°= ∠G'FB より G'B = G'F である。 EB = EF なので G'E は BF を垂直二等分するよって、直線 G'E は C を通る。ゆえに、G = G' である	直線 ID と BF との交点を H' とおく ∠H'BI = 45°= ∠H'IB

H'A = H'I, EA = EI に注目して直線 H'E が A を通ることをみて H = H' を得る Top に戻る

問題３の略解答


∠CGD = 135°を示す	B, D, F は C を中心とする円周上にあり ∠BCD = 90°なので ∠BFD = 45°である	CE と BF が直交し ∠BFD = 45°なので ∠CGD = 135°である

∠AHB = 45°を示す	A, E, C は B を中心とする円上にあり ∠ABC = 90°なので ∠AEC = 45°である。 CE と BF が直交しているので ∠AHB = 45°である	∠AHB = 45°なので H は正方形 ABCD の外接円周上にある Top に戻る

問題４の略解答


直線 DF と BI との交点を G' とする G = G' 即ち、 G' が直線 EC 上にあることを示す	BI が ∠ABE の二等分線 BF が ∠CBE の二等分線 ∠ABC = 90°なので ∠G'BF = 45°である。 CB = CD = CF で ∠BCD = 90°なので ∠G'FB = 45°である。ゆえに G'B = G'F である。 CB = CF, EB = EF なので G', C, E は一直線上にある。	直線 BF と DI との交点を H' とおく H = H' を示すつまり、H' が AE 上にあることを示す。そのために AH が ∠BAI の二等分線であることを示す

図のように、菱形 DCFJ を描く DI が ∠ADJ の二等分線 DF が ∠CDJ の二等分線 ∠ADC = 90°なので ∠H'DF = 45°である。 CB = CD = CF で ∠BCD = 90°なので ∠BFD = 45°である。	∠H'DF = 45°= ∠H'FD なので H'D = H'F さらに CD = CF, JD = JF なので H', C, J は一直線上にある	JC が ∠DJF の二等分線 JA が ∠DJI の二等分線 ∠ADC = 90°なので ∠H'JA = 45°である。 DI は AJ の垂直二等分線であるので ∠H'AJ = ∠H'JA = 45°

∠H'AJ = 45°で AJ が ∠DAI の二等分線で ∠BAD = 90°なので H'A は ∠BAI の二等分線である。	今までの結果より４直線 AE, BF, CJ, DI は一点で交わる	同様に４直線 AJ, BI, CE, DF は一点で交わる Top に戻る

今までを総合すると
次が成り立つ

四辺形 ABCD は正方形で
四辺形 ABEI は菱形で
四辺形 IEFJ は正方形であるとする
AJ と DF との交点を G
AE と BF との交点を H とするとき

①　A, B, H, C, G, D は同一円周上にある
②　I, H, E, F, J, G は同一円周上にある
③　直線 BI と CE は G を通る
④　直線 DI と CJ は H を通る

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