1^m+2^m+...+n^mの話(定理１の証明)

帰納法を使う。f₁(x),f₂(x),...,f_m-1(x) までの存在がわかっているとする。

n(n+1)(n+2)...(n+m) - (n-1)n(n+1)(n+2)...(n+m-1) = (m+1)n(n+1)(n+2)...(n+m-1) 等より
1×2×3×...×m + 2×3×4×...×(m+1) + ... + n(n+1)(n+2)...(n+m-1) = n(n+1)(n+2)...(n+m)/(m+1) を得る。
g_m(x) = x(x+1)(x+2)...(x+m)/(m+1) とおくと、これは m+1 次の多項式である。
x(x+1)(x+2)...(x+m-1) = x^m + c₁x^m-1 + c₂x^m-2 + ... + c_m-1x + c_m とおくと
1^m + 2^m + ... + n^m = g_m(n) - c₁f_m-1(n) - c₂f_m-2(n) - ... - c_m-1f₁(n) - c_mn が成り立っている。
f_m(x) = g_m(x) - c₁f_m-1(x) - c₂f_m-2(x) - ... - c_m-1f₁(x) - c_mx と定めると f_m(x) が求める m+1 次の多項式である。

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1m+2m+...+nmの話(定理１の証明)

1^m+2^m+...+n^mの話(定理１の証明)