今までと同じ記号を使う a' = bα, a'' = bα2, c = bα3 b' = cβ, b'' = cβ2, a = cβ3 c' = aγ, c'' = aγ2, b = aγ3　であり αβγ = ω で 1 + ω + ω2 = 0 で α3β3γ3 = ω3 = 1 であった。 ∠ABC の外角の三等分腺で BC に近い方のものと 単位円(いまは �僊BC の外接円)とのもう一つの交点を B''' とおく。 ∠BCA の外角の三等分腺で BC に近い方のものと 単位円とのもう一つの交点を C''' とおく。 B''', C''' に対応する複素数を各々 b''', c''' とおく。 G はBB''' と CC''' との交点である。 ∠B'BB''' = 60°より ∠B'OB''' = 120°である。 よって 　 b''' = b'ω2 = cβω2 同様にして 　c''' = c''ω = aγ2ω である。 g は G に対応する複素数なので 直線の話より次の二つの式が成り立つ。 　g + bb'''g = b + b''' 　g + cc'''g = c + c''' これを変形して 　g + bcβω2g = b + cβω2 　g + caγ2ωg = c + aγ2ω b = aγ3 なので (bcβω2)αω = acαβγ3 = acγ2ω である。これより (1-αω)g = c + aγ2ω - (b + cβω2)αω 　　　　= c(1 + β3γ2ω - αβ3γ3ω - αβ) 　　　　= c(1 + αβ4γ3 - β2γ2ω2 - αβ) 　　　　= c(1 - β2γ2ω2 - αβ(1 - β3γ3ω3)) 　　　　= c(1 - βγω) (1 + βγω - αβ(1 + βγω + β2γ2ω2)) 　　　　= c(1 - βγω) (1 + βγω - αβ - βω2 - β2γ) (1-αω)βγω = (βγω - 1) ≠ 0 より 　　g = c(αβ2γω + β2γ + β3γ2ω - βγω - β2γ2ω2) 　　　= c(βω2 + β2γ + β3γ2ω - βγω - β2γ2ω2) を得る。