AI, AH は ∠BAC の三等分線
BI, BG は ∠ABC の外角の三等分線
CG, CH は ∠ACB の外角の三等分線である
(4) (a) AG, BH, CI は一点で交わる
⊿ABH と ⊿ACI において ∠BAH = ∠IAC なので

k = AB×AH, k' = AI×AC とおくと
その面積比は k : k' である。 よって向きが反対なので

 k' ⊿ABH + k⊿ACI = 0

⊿BCI と ⊿BAG において ∠IBC + ∠ABG = 180° なので

m = BC×BI, m' = BG×BA とおくと
その面積比は m : m' である。 よって向きが同じなので

 m' ⊿BCI - m⊿BAG = 0

⊿CAG と ⊿CBH において ∠HCB + ∠ACG = 180° なので

n = CA×CG, n' = CH×CB とおくと
その面積比は n : n' である。 よって向きが同じなので

 n' ⊿CAG - n⊿CBH = 0

AH×BI×CG = AI×BG×CH(工事中) なので
k×m×n = k'×m'×n' (≠ 0)である。

T を不定点として、関係式

-k×m×n ⊿TAG + k'×m'×n ⊿TBH + k×m'×n ⊿TCI = 0

を考えると、この関係式は
T = A のとき、T = B のとき T = C のときの
すべてについて成立する。
A, B, C は同一平面上にないので

AG, BH, CI は一点で交わるか平行である。
もどる