AI, AH は ∠BAC の三等分線 BI, BG は ∠ABC の外角の三等分線 CG, CH は ∠ACB の外角の三等分線である (4) (a)　AG, BH, CI は一点で交わる ⊿ABH と ⊿ACI において ∠BAH = ∠IAC なので k = AB×AH, k' = AI×AC とおくと その面積比は k : k' である。 よって向きが反対なので 　k' ⊿ABH + k⊿ACI = 0 ⊿BCI と ⊿BAG において ∠IBC + ∠ABG = 180° なので m = BC×BI, m' = BG×BA とおくと その面積比は m : m' である。 よって向きが同じなので 　m' ⊿BCI - m⊿BAG = 0 ⊿CAG と ⊿CBH において ∠HCB + ∠ACG = 180° なので n = CA×CG, n' = CH×CB とおくと その面積比は n : n' である。 よって向きが同じなので 　n' ⊿CAG - n⊿CBH = 0 AH×BI×CG = AI×BG×CH(工事中) なので k×m×n = k'×m'×n' (≠ 0)である。 T を不定点として、関係式 -k×m×n ⊿TAG + k'×m'×n ⊿TBH + k×m'×n ⊿TCI = 0 を考えると、この関係式は T = A のとき、T = B のとき T = C のときの すべてについて成立する。 A, B, C は同一平面上にないので AG, BH, CI は一点で交わるか平行である。 もどる