解答
f(x) = (x3+a3+b3)/3 - ((x+a+b)/3)3 とおくf '(x) = x2 - ((x+a+b)/3)2 であるので
x = -(a+b)/4 のとき f(x) は極大になり
x = (a+b)/2 のとき f(x) は極小になる。
-(a+b)/4 < 0 < (a+b)/2 なので増減の表(略)より
x
0 の範囲では
f(x) は x = (a+b)/2 のとき最小値をとる。f((a+b)/2) = (a+b)3/24 + a3/3 + b3/3 - ((a+b)/2)3
= (a+b)((a+b)2 + 8(a2 - ab + b2) - 3(a+b)2)/24
= (a+b)(6a2 - 12ab + 6b2)/24
= (a+b)(a-b)2/4
である。
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