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解答 (1) p が題意をみたしているとする。 p, 2(2p + 1), 4p + 1 を考える 2(2p+1) = 3p + (p+2) 4p + 1 = 3p + (p+1) で p, p+1, p+2 のどれかは 3 で割り切れるので p, 2(2p + 1), 4p + 1 のどれかは 3 で割り切れる p, 2p + 1, 4p + 1 のどれかかは 3 である。 可能性としては p = 3 であり p = 3 とすると p, 2p + 1, 4p + 1 は 3, 7, 13 となり すべて素数である。 よって p = 3 | . . |
(2) q が題意をみたしているとする。 q, 3(2q + 1), 4(4q - 1),6q - 1, 2(8q + 1) を考える 3(2q + 1) = 5q + (q+3) 4(4q - 1) = 5(3q-1) + (q+1) 6q - 1 = 5(q-1) + (q+4) 2(8q + 1) = 15q + (q+2) で q, q+1, q+2, q+3, q+4 のどれかは 5 で割り切れるので q, 3(2q + 1), 4(4q - 1),6q - 1, 2(8q + 1) のどれかは 5 で割り切れる。 よって q, 2q + 1, 4q - 1,6q - 1, 8q + 1 のどれかは 5 である。 | . . |
q ≥ 2 なので q = 5 または 2q + 1 = 5 である。 q = 5 のとき q, 2q + 1, 4q - 1,6q - 1, 8q + 1 は 5, 11, 19, 29, 41 となり、皆素数である。 2q + 1= 5 のとき q = 2 となり q, 2q + 1, 4q - 1,6q - 1, 8q + 1 は 2, 5, 7, 11, 17 となり、皆素数である。 以上より q = 2, 5 である。 |