|α| = |β| = 1, α - β = α/β
解答 cos 60° + i sin 60°を γ とおくと 1 - γ + γ 2 = 0 である。
つまり γ - 1 = γ2, 1 - γ = γ-1 である。
|α| = |β| = 1, |α - β| = |α/β| = 1 より
0, α, β は正三角形をなす。
α = β γ または α = β γ-1である。
1 - γ + γ 2 = 0 に注意しておく。 α = β γ のとき
β(γ - 1) = α - β = α/β = γ より
β = γ-1 で α = 1 である。
α = β γ-1 のとき
α(1 - γ) = γ-1 より α = 1 で β = γ である。
答え α = 1 , β = (1 ±
i)/2;
(2) 次式をともにみたす複素数 z, w をすべて求めよ。
|z| = |w| = 1, z2 + w2 = z + w
解答 z(z-1) = w(1-w) で |z| = |w| = 1 より
|z - 1| = |w - 1| である。
つまり z, w は単位円周にあり 1 との距離が等しい。
よって w = z または w = z-1である。
w = z のときは 2z2 = 2z で z ≠ 0 より z = 1 (w = 1)
w = z-1 のときは
z4 + 1 = z3 + z より (z - 1)(z3 - 1) = 0
よって ω = cos 120°+ i sin 120°とおくと
z = 1, ω, ω2 である。
(z,w) = (1,1), (ω, ω2), (ω2,ω,) を得る。
これらは題意の式を満たしている。
答え (z,w) = (1,1), (ω, ω2), (ω2,ω,)