P は x 軸上の点で x 座標が正であり、 　Q は y 軸上の点で y 座標が正である。 直線 PQ は原点 O を中心とする半径 1 の円に接している。 また a, b は正の定数とする。 P, Q を動かすとき, a OP2 + b OQ2 の最小値を a, b で表せ。 　 解答 与えられた円と PQ との接点を (cos θ sin θ) とおくと 接線の方程式は cos θ x + sin θ y = 1 である。 よって a OP2 + b OQ2 = a/cos θ2 + a/sin θ<2/sup> cos θ2 + sin θ2 = 1 に注意しておく。 0 < x < 1 のとき f(x) = a/x + b/(1-x) とおく。 f(x) の最小値が求めるものである。 f'(x) = -a/x2 + b/(1-x)2 である。 0 < x < 1 では f'(x) は単調増加で、負から正に変わるので 0 < α < 1 かつ f'(α) = 0 を満たす α が唯一つある。 増減の表より、 f(α) が求めるものであることがわかる。 f'(α) = 0 より a (1 - α)2 = b α2 a, b, α 1 - α は皆正なので root(a) (1 - α) = root(b) α α = root(a) /(root(a) + root(b)) f(α) = a + 2root(a)root(b) + b 答え a + 2root(a)root(b) + b 後半の別解　 (1-x)/x > 0 に注意しておく f(x) = a/x + b/(1-x) = a + a(1-x)/x + b + bx/(1-x) 　　= a + b + a(1-x)/x + bx/(1-x) ≥ a + b + 2root(ab) 等号は a(1-x)/x = bx/(1-x) のとき成り立つ。 (x = root(a) /(root(a) + root(b)) のとき) 　　 　　戻る