定数 a に対して、 次の方程式が表す曲線を それぞれ C1, C2 とする。 　y = ax3 - 2x2 + 3 　y = x3 + ax2 - 4x C1 と C2 がちょうど 2 点を 共有するような a をすべて求めよ。 解答 方程式 ax3 - 2x2 + 3 = x3 + ax2 - 4x 実数解を(重複は考慮しないで) 2 個持つ a を求めればよい。 f(x) = (a-1)x3 - (2+a)x2 + 4x + 3 とおく。 a = 1 のときは f(x) = -3x2 + 4x + 3 なので f(x) = 0 は解を 2 つ持つ。 a ≠ 1 のときは f(x) は 3 次式なので f(x) = 0 が実数解を丁度 2 つ持つためには f(x) = 0 は重複解を持つべきである。 f(x) = 0 が α を重複解を持つとする。このとき α は f(x) = 0 と f'(x) = の共通解である。 f'(x) = 3(a-1)x2 - 2(2+a)x + 4 f'(x)x - 3f(x) = (2+a)x2 - 8x - 9 g(x) = f'(x)x - 3f(x) とおくと g(α) = 0 である。 g(x)x - f(x) = 3x3 + (a - 6)x2 - 13x - 3 g(x)x - f(x) - g(x) = 3x3 - 8x2 - 5x + 6 よって α は 3x3 - 8x2 - 5x + 6 = 0 の解である。 3x3 - 8x2 - 5x + 6 = (x + 1)(x - 3)(3x - 2) なので α = -1, 3, 2/3 である。 g(α) = 0 なので α = -1 のときは a = -1 ある。 このときは f(x) = 0 のもう１つの解は 3/2 である g(α) = 0 なので α = 3 のときは a = 5/3 ある。 このときは f(x) = 0 のもう１つの解は -1/2 である g(α) = 0 なので α = 2/3 のときは a = 121/4 ある。 このときは f(x) = 0 のもう１つの解は -3/13 である 以上より a = -1, 3, 2/3 答え a = 1, -1, 3, 2/3 　　戻る