素直な解答 四面体ABCD において AB = CD = 7, AC = BD = 6, BC = AD = 5 とする。 座標をうまくいれて、頂点の座標を A(0,0,0), B(7,0,0), C(a,b,0), D(c,d,e) とおく。 ( b > 0, e > 0 とおく。) 36 = AC2 = a2 + b2 25 = BC2 = (a-7)2 + b2 であるから 11 = 14a - 49 つまり 7a = 30 を得る。 (7b)2 = 49×36 - (7a)2 　= 49×36-302 = (49-25)×62 = 6×122 を得る p = 7a, q = 7b, r = 7c, s = 7d, t = 7e とおき, 平方根 6 を α とおくとき p = 30, q = 12α, &alpha2 = 6 である。 25 = AD2 = c2+d2+e2 36 = BD2 = (c-7)2+d2+e2　より 11 = -14c + 49 つまり r = 7c = 19 を得る。 49×25 = (7×AD)2 = r2+s2+t2 49×49 = (7×CD)2 = (r-p)2+(s-q)2+t2 より 49×24 = -2pr + p2 - 2qs + q2。故に 2qs = -49×24 - 2pr + p2 + q2 　つまり 24αs = -49×24 - 2×30×19 + 302 + 6×122　よって 2αs = -49×2 - 5×19 + 75 + 72　= -46 　即ち αs = -23　を得る。 6t2 = 6×49×25 - 6×r2 - (αs)2 = 6×49×25 - 6×192 - 232 　　 = 6×49×25 - 2695 = 6×49×25 - 55×49 = 95×49 よって t = 7e なので 6e2 = 95 つまり αe = root(95) を得る。 求める体積を V とおくと 6V = 7be = qe = 12αe = 12root(95) である。よって V = 2root(95) を得る。 戻る