解答

(1)　f(a) が 2ⁿ⁺¹ の倍数のときはもうなにもすることがない。
f(a) が 2ⁿ⁺¹ の倍数でないときの考察を行う。
f(a) = 2ⁿc とおくと c は奇数である。
f(a) = a² + 7 は 2ⁿ の倍数で n は 3 以上なので a² + 7 は偶数である。
よって a は奇数である。a = 2b+1 とおく。b は整数である。
f(a+2^n-1) = a² + 2ⁿa + 2^2n-2 + 7 = f(a) + 2ⁿa + 2^2n-2
　　= 2ⁿc + 2ⁿ(2b+1) + 2^n-32ⁿ⁺¹ = (c+1)2ⁿ + (b+2^n-3)2ⁿ⁺¹
c+1 は偶数で b は整数で n は 3 以上の自然数なので f(a+2^n-1) は 2ⁿ⁺¹ の倍数となる。
(2)　帰納的に求める数列をつくる。
a₁ = 1　と定めると f(a₁) = 8 でこれは 2¹ の倍数である。
a₂ = 1　と定めると f(a₂) = 8 でこれは 2² の倍数である。
a₃ = 1　と定めると f(a₃) = 8 でこれは 2³ の倍数である。
k が 3 以上の自然数のとき f(a_k) が 2^k の倍数であるような数 a_k が作れているとき
f(a_k+1) が 2^k+1 の倍数であるような数 a_k+1 を次のように作る。
f(a_k) または f(a_k+2^k-1) のいづれかは 2^k+1 の倍数である。
f(a_k) が 2^k+1 の倍数のときは a_k+1 = a_k と定め
f(a_k+2^k-1) が 2^k+1 の倍数のときは a_k+1 = a_k+2^k-1 と定める。

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