京大(01後文3) P の座標を (t,t3+2t2+2) と定めると L の方程式は y = (3t2+4t)(x-t) + t3+2t2+2 つまり y = (3t2+4t)x - 2t3 - 2t2+2 である。 L と曲線 C2 との交点を調べるため、二次式 3x2 - ((3t2+4t)x - 2t3 - 2t2+2) を考える。これを f(x) とおく。 f(x) の判別式を D とおくと D = (3t2+4t)2 - 12(2t3 + 2t2-2) 　 = 9t4 - 8t2 + 24 　 = (3t2 - 4/3)2 + 200/9 f(x) = 0 は異なる二つの実数解を持つ。 それらを α, β (α< β) とおく。 f(x) = 3(x-α)(x-β) = 3x2 - 3(α+β)x + 3αβ なので D = 9(β - α)2 である。 L と曲線 C2 とで囲まれた部分の面積を S とおくと S は -f(x) を α から β まで積分したものである。 -f(x) = -3(x-α)(x-β) = -3(x-α)(x-α+α-β) 　= -3(x-α)2+3(β-α)(x-α) なので S = (β-α)3/2 である。つまり S = (D/9)3/2/2 である。 よって S が最少になるのは t = 2/3 または t = -2/3 のときで、その値は (10/9)3root(2) である。 　戻る (計算は信用しないで下さい。 誤りがあれば知らせて下さい。)