C 上の点 P に対し、
P における C の接線と x 軸との交点を Q とし、
P における C の法線と y 軸との交点を R とする。
P が C 上を動くとき OR/OQ の最小値を求めよ。
ただし、 O は原点である。
解答
P(a,a3) とする。 a > 0 である。
P における C の接線の方程式は
y - a 3 = 3a2(x-a)
つまり y = 3a2x - 2a 3
なので Q(2a/3,0) である。
P における C の法線の方程式は
y - a 3 = -1/(3a2)(x-a)
つまり y = -1/(3a2)x + a 3 + 1/(3a)
なので R(0, a 3 + 1/(3a)) である。
よって OR/OQ = (3/2)×a2 + (1/2)×(1/a2)
ゆえに、相加相乗平均の定理より
OR/OQ の最小値は
でそれは a = 3(-1/4)
の時実現される。
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