2004年度採用試験(京都府高校)

５．　曲線 y = e^x + e^-x 上の x > 0 部分に点 P(a,b) をとる。
　　　このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)　点 P における接線と x 軸との交点を Q とするとき、
　　　PQ の長さを b を用いて表しなさい。

(2)　PQ の長さの最小値を求めなさい。

解答

a > 0 で b = e^a + e^-a である。
b > 2 に注意しておく。
y' = e^x - e^-x なので
P におけるこの曲線の接線の方程式は
　y - b = (e^a - e^-a)(x - a)
従って Q(a - b/(e^a - e^-a)
(e^a - e^-a)² = (e^a - e^-a)² - 4 = b² - 4 なので
PQ² = b²/(b² - 4) + b² = b²(b² - 3)/(b² - 4)
よって PQ = root(b²(b² - 3)/(b² - 4))

　

PQ² 　= b² + 1 + 4/(b² - 4) = (b² - 4) + 4/(b² - 4) + 5 ≥ 4 + 5 = 9
(b² - 4 > 0 なので相加相乗平均値の定理より、等号は b² - 4 = 4/(b² - 4) のとき即ち b² - 4 = 2 のとき成立する。
それを実現する a は存在する)
PQ の最小値は 3 である

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