問題

基本的な問題です
正方形と対角線と 45°

図において
四辺形 ABCD は正方形
E は CD 上の点で、 F は DA 上の点で
∠EBF = 45°とする
このとき、次を示せ。

@　F, H, G, E, D は EF を直径とする
　　円の円周上にある。
A　EF2 = 2 GH2
B　GH2 = AH2 + CG2
解説　 Applet 版
派生問題

K を B から EF に下ろした垂線の足
M を EK の中点とすると
次が成り立つ。
C　H, G, K, M は同一円周上にある
D　GM ‖ CD, HM ‖ AD
三つの正三角形

図において
僊BC を正三角形とする。
D は AC の中点、 E は AD の中点とする。
G は BD の中点とする。
傳FE, 僊GT は正三角形とする。
S は BE と AG との交点とする。
この時次を示せ

@　S, D, T は BC と平行な一直線上にある。
A　僖GT ≡ 僂TF である。
B　僭TF は正三角形である。
解説は抜きです
二つの正方形と二つの直角二等辺三角形

図において
四辺形 ABDE と ACFG は正方形とする。
このとき
EC, DF, BG が一点で交わることを示せ
解説　 Applet 版
二つの正方形と二つの直角二等辺三角形

図において
四辺形 ABDE と ACFG は正方形とする。
P は BC の中点、R は EG の中点としし
Q は正方形 ACFG の中心、
S は正方形 ABDE の中心とする
このとき
四辺形 PQRS が正方形であることを示せ
解説　 Applet 版
36°72°問題

図において
C, D は O を中心とし
直径 AB の円周上の点で
∠BOD = 36°, ∠BOC = 72°とする。
E は直線 CD と AB との交点、
F は直線 AD と BC との交点、
G は F から AB に下ろした垂線の足とする。
このとき、次を示せ

EG = OB, CD = OG
解説　 Applet 版
４つの直角三角形

僊BC を ∠BAC = 90°の直角三角形
I を 僊BC の内心とする。
D は AB 上の点で ∠AID = 90°
E は BC 上の点で ∠BDE = 90°とする。
このとき
∠EIC = 90°であることを示せ。
解説　 Applet 版
60°,40°,80°の三角形と内心と傍心

僊BC は ∠BAC = 60°, ∠ABC = 40°, ∠ACB = 80°
の三角形で I はその内心
J は ∠BAC 内にある傍接円の中心(傍心)
E は J を通り BC に垂直な直線と AB との交点
K は BK = AI なる BJ 上の点とする
このとき、次を示せ。

@　I, D, B は E を中心とした円の円周上にある
A　B, J, C, I, E は同一円周上にある
B　A, E, K, J は同一円周上にある
解説　 Applet 版
直角三角形と垂線と内心と外接円

僊BC は ∠°の直角三角形
D は A から BC に下ろした垂線の足
J, K は各々 僊BD, 僊CD の内心
E , F は JK と各々 AC, AB との交点
とする。このとき次を示せ

@　四辺形 DCEK は円に内接する
A　四辺形 BDJF は円に内接する
B　四辺形 DCEK の外接円
　　四辺形 BDJF の外接円
　　僊FE の外接円は一点で交わる
ヒント図　 Applet 版
角度の問題

図において
D, E は各々辺 AB, BC 上の点で
∠DCB = α, ∠ACD = 3α, ∠BAC = 120°- 2α
CE = CA とする。このとき

∠CDE を求めよ。
ヒント図　 Applet 版
角度の問題

図において
AB = AC
∠ADB = 55°、∠BDC = 70°
とする。このとき

∠BAC を求めよ。
ヒント図　 Applet 版
角度の問題

図において
AD と BC は平行
∠ABD = 10°、∠DBC = 30°
BA = BC
とする。このとき

∠BDC を求めよ。
ヒント図　 Applet 版
直角三角形と内心３

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形として
I はその内心とする
D は BC 上の点で CD = CA とすし
E は BC 上の点で BE = BA とする
このとき、次を示せ

僊BC, 僮BE, 僮EC の
各々の外接円は一点で交わる
ヒント図　 Applet 版
直角三角形と内心２

僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形として
I はその内心とする
D は BC 上の点で CD = CAとする
このとき、次を示せ
@　BI は 僮DC の外接円に接している
A　四辺形 ABDI は円に内接している
B　AI の延長上に F を
CF = CA であるようにとると
F は 僖CI の外接円上にある。
ヒント図　 Applet 版
正方形と３つの円

四辺形 ABCD は正方形をなし
O はその中心とするとき
正方形 ABCD の内接円と
円 BA 及び円 DO は
は同一点で交わる
このサイトでは
円 PQ で P を中心とし
半径 PQ の円を表す
ヒント図　 Applet 版
三つの円

図のように
A を中心とする円が
僊BC の外接円と
D, E で交わっている
DE と辺 AB, AC との交点を
各々 F, G とする。
このとき、次を示せ

四辺形 BCGF が
円に内接している
ヒント図　 Applet 版
40°の二等辺三角形と角度

僊BC は AB = AC, ∠BAC = 40°の
二等辺三角形
D は 僊BC 内の点で
AD = BC, ∠DAC = 10°とする。このとき

∠ACD を求めよ
ヒント図　 Applet 版
正方形 ABCD において
辺 AD, DC 上に点 E, F を
∠ EBF = 45°となるようにとる
EB, FB と AC との交点を各々 G, H とする。
このとき

GH2 = AG2 + CH2

を示せ
ヒント図
D を正三角形 ABC 内のてんとする。
このとき

AD2 = BP2 + CP2
が成り立つための必要十分条件は
∠BDC = 150°
であることを示せ
ヒント図
円と平行線

図において C, D, E, F は同一円周上の点
AB と CD は平行線
E は AD 上の点、F はBC 上の点
とする。このとき

∠EAF = ∠EBF を示せ
ヒント図
正方形と対角線と 45°

図において
四辺形 ABCD は正方形
E は CD 上の点で、 F は DA 上の点で
∠EBF = 45°とする
このとき、次を示せ。

@　F, H, G, E, D は EF を直径とする
　　円の円周上にある。
A　EF2 = 2 GH2
B　GH2 = AH2 + CG2


∠HBE = 45°= ∠HCE より
B, C, H, E は同一円周上にある
故に ∠FHE = ∠BCE = 90°
よって H は EF を直径とする円の円周上にある。
同様に G も EF を直径とする円の円周上にある。
∠EDF = 90°なので
D も EF を直径とする円の円周上にある。
G, H は EF を直径とする円の円周上にある。
D は AC に関して B と対称なので
∠GDH = ∠GBH = 45°である。
よって　EF2 = 2 GH2
K を BE に関する C の対称点とする。
BK = BC = BA
∠FBK ~ 45°- ∠EBK = 40°- ∠EBC
　= ∠FBA
従って
K は BF に関する A の対称点である。
∠EKG = ∠ECG = 45°, ∠FKH = ∠FAH = 45°
よって ∠GKH = 90°
故に GH2 = KH2 + KG2
KH = AH で KG = CG なので
GH2 = AH2 + CG2

K が B から EF に下ろした垂線の足に
なっていることに注意しよう
派生問題

K を B から EF に下ろした垂線の足
M を EK の中点とすると
次が成り立つ。
C　H, G, K, M は同一円周上にある
D　GM ‖ CD, HM ‖ AD
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二つの正方形と二つの直角二等辺三角形

図において
四辺形 ABDE と ACFG は正方形とする。
このとき
EC, DF, BG が一点で交わることを示せ
EC と BG との交点を H とし
∠BHD = ∠GHF を示す。

A, E, D, B, H が同一円周上にあり
A, H, C, F, G が同一円周上にあることをみる
∠BHD = ∠BAD = ∠GAF = ∠GHF である
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二つの正方形と二つの直角二等辺三角形

図において
四辺形 ABDE と ACFG は正方形とする。
P は BC の中点、R は EG の中点としし
Q は正方形 ACFG の中心、
S は正方形 ABDE の中心とする
このとき
四辺形 PQRS が正方形であることを示せ
僊EC ≡ 僊BG で
EC と BG が直交している
このことを示し
あとは中点連結定理を使う。
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36°72°問題

図において
C, D は O を中心とし
直径 AB の円周上の点で
∠BOD = 36°, ∠BOC = 72°とする。
E は直線 CD と AB との交点、
F は直線 AD と BC との交点、
G は F から AB に下ろした垂線の足とする。
このとき、次を示せ

EG = OB, CD = OG
僊CF ≡ 僊GF を示す。
僊CD ≡ 僊GD を示す。
DG = DC = DB をみる。
僖OE, 僖GB は二等辺三角形である。
僞CO, 僞DG は二等辺三角形である。
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４つの直角三角形

僊BC を ∠BAC = 90°の直角三角形
I を 僊BC の内心とする。
D は AB 上の点で ∠AID = 90°
E は BC 上の点で ∠BDE = 90°とする。
このとき
∠EIC = 90°であることを示せ。
 I　は 僊BC の内心なので
IA, IC は各々
∠BAC, ∠ACB の二等分線である
I を通り AC に平行な直線と
AB, BC 各々おのとの交点を F, G とおく
@　AC, FG, DE は平行である
A　∠IAD = 45°, ∠AID = 90°,
　 ∠AFI = 90°なので AF = FD
B　AF = FD なので @ より
　　CG = GE
C　AC と FC が平行なので
　　∠GIC = ∠ACI
　　∠ACI = ∠GCI だったので
　　∠GIC = ∠GCI
　　故に GI = GC
D　GC = GI = GE より ∠EIC = 90°である。
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60°,40°,80°の三角形と内心と傍心

僊BC は ∠BAC = 60°, ∠ABC = 40°, ∠ACB = 80°
の三角形で I はその内心
J は ∠BAC 内にある傍接円の中心(傍心)
E は J を通り BC に垂直な直線と AB との交点
K は BK = AI なる BJ 上の点とする
このとき、次を示せ。

@　I, D, B は E を中心とした円の円周上にある
A　B, J, C, I, E は同一円周上にある
B　A, E, K, J は同一円周上にある
JE と BC が直交し ∠ABC = 40°なので
　∠AEJ = 130°である
∠ACB = 80°, ∠JCB = 50°より
∠ACJ = 130°である
僊EJ と 僊CJ において
∠AEJ = 130°= ∠ACJ、∠EAJ = ∠CAJ で
AJ が共通なので
僊EJ ≡ 僊CJ である
E は AJ に関して C と対称である。
よって 僞ID ≡ 僂ID である
∠EID = ∠CID = ∠CAI + ∠ACI = 70°
∠EDI = ∠CDI = 180°- ∠DCA - ∠CAD = 70°
より EI = ED
∠EDB = 180°- ∠EDA - ∠ADC
　40°= ∠EBC より
ED = EB
EI = ED だったので @ が示せた
∠CIJ = 70°= ∠CBJ であるので
B, J, C, I は同一円周上にある
∠BEJ = 50°= ∠BCJ であるので
B, J, C, E は同一円周上にある
よって A が示せた。つまり
B, J, C, I, E は同一円周上にある
傳KE と僮AC において
BE = EI = IC
BK = IA
∠EBK = 110°= ∠CIA なので
傳KE ≡ 僮AC
故に ∠BKE = ∠IAC = 30°である
∠BKE = 30°= ∠EAJ なので
A, E, K, J は同一円周上にある。
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直角三角形と垂線と内心と外接円

僊BC は ∠°の直角三角形
D は A から BC に下ろした垂線の足
J, K は各々 僊BD, 僊CD の内心
E , F は JK と各々 AC, AB との交点
とする。このとき次を示せ

@　四辺形 DCEK は円に内接する
A　四辺形 BDJF は円に内接する
B　四辺形 DCEK の外接円
　　四辺形 BDJF の外接円
　　僊FE の外接円は一点で交わる
僖AC ∽ 僖JK を示そう
DJ は ∠ADB の二等分線で
DK は ∠ADC の二等分線なので
∠JDK = 90°である。
よって ∠ADC = ∠JDK
僖AC ∽ 僖BA で相似比が DC : DA より
DK : DJ = DC : DA である。
従って 僖AC ∽ 僖JK
僖AC ∽ 僖JK より
∠ACD = ∠JKD
よって 四辺形 DCEK は円に内接する
@ が示せた。同様に A が示せる。
四辺形 DCEK の外接円と
四辺形 BDJF の外接円との
D と異なる交点を G とおく。
∠FGE = 90°( = ∠BAC) を示そう。
G の取り方より
∠EGD = ∠DKJ
∠FGD = ∠DJK
また ∠JDK = 90°より
∠DKJ + ∠DJK = 90°である。
よって
∠EGF = ∠EGD + ∠FGD = 90°
∠EAF = 90°だったので
四辺形 AFGE は円に内接している
つまり 僊FE の外接円は G を通っている
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角度の問題

図において
D, E は各々辺 AB, BC 上の点で
∠DCB = α, ∠ACD = 3α, ∠BAC = 120°- 2α
CE = CA とする。このとき

∠CDE を求めよ。
題意の図は
相似の意味で一意的に定まるので
答えがわかるように
題意の図を作図しよう

これを、参考にします。

正三角形 DEH を画き
D から EH に引いた垂線の
延長線上に点 C を
∠DCE = α (= ∠DCH)
と成るように取る
CH に関する E の対称点を A とする。
AD と CE との交点を B とおく

CA = CE で
∠DCB = α, ∠ACD = 3α である。
∠EAC = 90°- 2α　である
HA = HE = ED なので
∠DAE = (∠DHE)/2 = 30°
従って ∠BAC = 90°- 2α
よって、題意の図が描けた。
∠CDE = 30°である。
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角度の問題

図において
AB = AC
∠ADB = 55°、∠BDC = 70°
とする。このとき

∠BAC を求めよ。
図のように F を
∠BDF = 55°となるようにとると
A は BC の垂直二等分線と
DF との交点として定まる。
O を 傳CD の外心とし
E を BC の中心とする
G を 傳CD の外接円と
EO の延長との交点とする。
(EO は BC の垂直二等分線である)
∠GOB = ∠GOC で
∠BOC = 2∠BDC = 140°より
∠BOG = 110°である。
故に ∠BDG = (∠BOG)/2 = 55°である
よって G = A であり
∠BAC = (∠BOC)/2 = 70°である
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角度の問題

図において
AD と BC は平行
∠ABD = 10°、∠DBC = 30°
BA = BC
とする。このとき

∠BDC を求めよ。
図のように点 E を
∠DBE = 10°
BE = BA (= BC) となるようにとる
僊BD ≡ 僞BD
∠ADB = ∠DBC = 30°
なので 僊ED は正三角形である
僊BE ≡ 僂BE
なので EA = EC
ED = EA だったので
E は 僊CD の外接円の中心である。
∠ADC = (∠AEC)/2 = ∠AEB = 80° で
∠ADB = 30°なので
∠BDC = 50°である。
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僮BE の外接円と
僮DC の外接円との交点を
G とする( I 以外)。

∠IGC = ∠IDC = ∠IAC = 45°
∠IGB = ∠IEB = ∠IAB = 45°なので
∠BGC = 90°である
∠BAC = 90°だったので
G は 僊BC の外接円上にある。
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IC が ∠ACB の二等分線で
CD = CA なので
∠IBD = ∠IAC = 45°= ∠IAB
なので A が示せる。

IB も ∠ABC の二等分で
∠ABC + ∠ACB = 90°なので
∠IBC + ∠ICB = 45°
つまり、図において
∠CIN = 45°= ∠IDC
よって @ が示せる。

CF = CA より
∠CFA = ∠CAF = 45°= ∠CDI
よって B が示せる
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40°の二等辺三角形と角度

僊BC は AB = AC,
∠BAC = 40°の 二等辺三角形
D は 僊BC 内の点で
AD = BC, ∠DAC = 10°とする。
このとき

∠ACD を求めよ
題意の図は相似の意味で
一意的に定まる。
答えがわかるように、
題意の図を画く
ことにする。
図のように
E を AE = AB (= AC)
∠BAE = 20°(= ∠EAC)
となるように描く

EB = EC,∠BCE = 10°
である。
図のように
正三角形 DEC を画く
∠DAC = 10°, ∠ACD = 20°
である。

図のように
AC 上に点 F を
∠DFC = 20°( = ∠DCF)
となるようにとる

∠DAF = 10°= ∠ADF である。

FA = FD = DC = EC である。
僥AD ≡ 僞CB
を得て AD = BC を得る。
題意の図が描けて
∠ACD = 20°である
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E を 正方形 ABCD の
内接円と円 BA との
交点の一つとする
DE = DO を示す
O は BD の中点なので
EB2 + ED2
　= 2(EO2 + BO2)
これより DE = DO を得る
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∠AFG = ∠ADE + ∠DAB
∠ADE = ∠AED = ∠ACD
∠DAB = ∠DCB
∠GCB = ∠ACD + ∠DCB
なので

∠AFG = ∠GCB

従って、四辺形 BCGF は
円に内接している
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この図を考えましょう
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僞DC が正三角形なる点 E をとり 僊EC ≡ 傳DC に注目する
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A, B, E, F が同一円周上にあることを示す
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