名古屋前期(理4) C1, C2, C3 は、半径がそれぞれ a, a, 2a の円とする。 いま、半径 1 の円 C にこれらが内接していて、 C1, C2, C3 は互いに外接しているとき、a の値を 求めよ。 解 　　 C の中心を O として C1, C2, C3 の中心を各々 P, Q, R とする。 OP, OQ 各々の延長と円 C との交点を各々 F, G とする OF = 1 = OG で PF = a = QG より OP = 1-a = OQ である。 つまり O は PQ の垂直二等分線上にある。 RP = 3a = RQ より Q も PQ の垂直二等分線上にある。 O を原点 PQ の垂直二等分線を y 軸とするように座標をいれる。 このとき P(a,b), Q(-a,b), R(0,1-2a) と座標をおくことができる OP = 1-a , PR = 3a より 　　a2 + b2 = (1-a)2 　　a2 + (2a+b-1)2 = (3a)2 を得る。 　　b2 = 1 - 2a 　　2b(2a-1) = (3a)2 - a2 - (2a-1)2 - b2 　　　　　　= 4a2 + 6a - 2 を得る。 　　(1-2a)(2a-1)2 = (2a2+3a-1)2 これを変形して 　　4a4 + 20a3 - 7a2 = 0 a > 0 なので、これを解いて a = (4 sqrt(2) - 5)/2 (吟味はしなくても良いでしょう) 　 二つ戻る　　 　戻る