大阪大学前期(理２)

素数 p, q に対して
　　a_n = pⁿ - 4(-q)ⁿ　　　(n = 1,2,3,...)
によって整数 a_n を定める。ただし、 p > 2q とする。

(1)　a₁ と a₂ が 1 より大きい公約数 m をもつならば、m = 3 であることを示せ。

(2)　a_n がすべて 3 の倍数であるような p, q のうち積 pq が最小となるものを求めよ。

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解答

(1)　a₁ = p + 4q, a₂ = p² - 4q² である。
　もちろん p は奇素数なので a₁ は奇数である。よって m も奇数である
　m が q で割り切れると仮定すると a₁ - 4q すなわち p が q で割り切れることになり
　p が q と異なる素数という条件に反する。 q は素数なので m と q は互いに素である。
　　　12q² = (p² - 4q²) - (p + 4q)(p - 4q) = a₂ - a₁(p - 4q)
なので m は 12q² の約数である。m は奇数で q と互いに素なので m は 3 の約数である。
m > 1 より m = 3 がわかる。

(2)　a₁ が 3 の倍数のとき p + q = a₁ - 3q より p + q は 3 の倍数 である。
逆に p + q が 3 の倍数のとき、全ての a_n が 3 の倍数であることを示そう。
n が偶数のとき
　a_n = pⁿ - 4qⁿ = pⁿ - qⁿ - 3qⁿ = (p + q)(p^n-1 - p^n-2q + p^n-3q² - ... + pq^n-2 - q^n-1) - 3qⁿ
なので a_n は 3 の倍数である。
n が奇数数のとき
　a_n = pⁿ + 4qⁿ = pⁿ + qⁿ + 3qⁿ = (p + q)(p^n-1 - p^n-2q + p^n-3q² - ... - pq^n-2 + q^n-1) - 3qⁿ
なので a_n は 3 の倍数である。
以上より a_n がすべて 3 の倍数であるという条件は p + q が 3 の倍数であるとい 条件と同じ。
素数を小さい順に少しならべると 2, 3, 5, 7
p + q が 3 の倍数で pq が最小となるのは (p > 2q より) p = 7 で q = 2 のときである。
　

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