(1) x > 0 で x = x sin2x となるのは 　sin x = 1 または sin x = -1 のときのみである。 　従って An の x 座標は (n - 1/2)π である。 　f(x) = x sin2x とおき αn = (n - 1/2)π とおくと 　f'(x) = sin2x + 2 x sin x cos x なので 　 f'(α) = 1 よって An で直線 y = x と曲線 y = x sin2x は接している。 (2) (1) での記号を使う。 求める面積を Sn とおくと Sn = ∫αnαn+1 (x - x sin2x) dx = ∫αnαn+1 x cos2x dx である。 {x sin x cos x}' = sin x cos x + x cos2x - x sin2 x = (1/2){sin2x }' - x + 2 x cos2x であるから {(1/2)x sin x cos x - (1/4)sin2x + (1/4)x2}' = x cos2x よって Sn = (1/4){(n + 1 - 1/2)2 - (n - 1/2)2}π2 = (1/2)nπ2 答えは (1/2)nπ2 　　もどる