戻るr A, B, C が有理点で �僊BC が正三角形 　となるものが存在すると仮定する。 (矛盾を導こう) A, B, C は反時計廻りに並んでいるとしてよい。 �僊BC を C が原点 O に移るように 平行移動したとき点 A, B が 移った点を C, D とする。 このとき、C, D は有理点で E は O を中心として D を 60°回転した点になっている。 D(a,b), E(c,d) とおく。 a,b,c,d は有理数で、a2 + b2 ≠ 0である。 複素数で考えると c + di = (cos 60°+ i sin 60°)(a + bi) である。 (ここで i は虚数単位である。) よって (c + di)(a - bi) = (cos 60°+ i sin 60°)(a + bi)(a - bi) より 2 sin 60° = 2(ad - bc)/(a2 + b2) である。 この式において a, b, c, d が有理数なので、右辺は有理数である。 一方、 2 sin 60°= root(3) でこれは有理数ではない。 以上より矛盾が生じた。 よって３頂点が有理点であるような 　正三角形は存在しない。