4 の解答
(1) n 回続けて投げるとき、1 ≤ m ≤ n-1 とするとき
m 回目と m+1回目が同じ目で残りが続けて同じ目が出ない確率は
5n-2/6n-1 である。
よって Pn(A) = (n-1)×5n-2/6n-1 である。
また Pn(B) = 5n-1/6n-1 である。
従って Pn(A) > Pn(B) なる条件は n-1 > 5
これを満たす最小の n は 7 である。
(2) Xn = m となる確立を Pm とおくと
P1 = 0
Pm = (5/6)m-2×(1/6) (2 ≤ m ≤ n のとき)
Pn+1 = (5/6)n-1
である。従って
an = 2×(1/6) + 3×(5/6)×(1/6) + 4×(5/6)2×(1/6) + ... +
n×(5/6)n-2×(1/6) + (n+1)×(5/6)n-1 を得る。
r = (5/6), s = 2 + 3r + 4r2 + ... + nrn-2 とおくと
an = (1-r)s + (n+1)rn-1
= 2 + r + r2 + ... + rn-1
= 1 + (1-rn)/(1-r) = 7 - 6×(5/6)n
従って
an = 7 - 6×(5/6)n であり
limn → ∞ an = 7 である。
一度しか計算してないので計算ミスがあったら指摘して下さい。