証明多角形の辺の個数による帰納法で示す。三角形では正しいと仮定している。 いま n > 3 として n-1 角形までは正しいと仮定して n 角形でも正しいことを示す。 n 角形 A1A2...An について考える 必要とあれば頂点の取り方をかえれば n 角形 A1A2...An を n-1 角形A1A2...An-1 と 三角形 A1An-1An とに にわけることができる。 n 角形について、 面積、内部にある格子点の数 、 辺上にある格子点の数を各々 S, a, b とおく。 また n-1角形、三角形についても各々 S1, a1, b1 及び S2, a2, b2 とおく。このとき S = S1 + S2 であり 帰納法の仮定より S1 = a1 + b1/2 -1, S2 = a2 + b2/2 -1 である。 n 角形 A1A2...An の内部にある格子点で、 線分 A1An-1 上にあるものの個数を q とすると a = a1 + a2 - q, b = b1 + b2 + 2 + 2q (辺上の点として A1, An-1 もう一度 数える、 q 個の点は n-1角形と三角形の辺上の点となる。) 以上より S = a + b/2 -1 を得る。 戻る |