図のように A,B,C,D を AD = αα', AB = γα', BD = βα', AC = αγ', DC = αβ' となるように取ると ∠ADB = 90°で ∠ADC = 90°である。 よって D は A から BC に下ろした 垂線の足になっている。 �僊DB 及び �僊DC の面積は整数なので �僊BC の面積は整数である。それを δ とおくと (実際 &dleta; = (αβ+α'β')/2 である。) (γα',αγ',βα'+αβ';δ) はヘロン数であり、それは ピタゴラス数 (α, β, γ) と (α', β', γ') とで作られている。 d を γα' と αγ' と βα'+αβ' との正の公約数一つとして γα' = da, αγ' = db, βα'+αβ' = dc となるように a, b, c を定め、 a + b + c が偶数のとき、 S = δ/d2 とおくとき (a, b, c; S) はヘロン数で ピタゴラス数 (α, β, γ) と (α', β', γ') とで作られている。 (S は有理数で整数の平方なので(ヘロンの定理より) S は整数である。) 戻る