符号付面積で考える。 p = AF×CA, q = EA×AB とおく 先ず明らかに �僊EB : �僊CF = EA×AB : AF×CA = q : p である。 �僊EB = -�僊BE なので 　p�僊BE + q�僊CF = 0 である。 また G を BE と CF の交点とおくと �僭BE = 0 で �僭CF = 0 なので 　p�僭BE + q�僭CF = 0 である。 p�傳BE + q�傳CF = q�傳CF で これは 0 でないので 方程式 　p�儕BE + q�儕CF = 0 は直線 AG をあらわす。 また �僖EB : �傳CE = BD : BC �傳CE : �僊BC = CE : CA なので �僖EB : �僊BC = BD×CE : BC×CA 　　　　　　　　= BD×CE×AB : BC×CA×AB　である。同様に �僖CF : �僊BC = DC×FB×CA : BC×CA×AB となる。 よって �僖EB : �僖CF = BD×CE×AB : DC×FB×CA である。 (1)　BD×CE×AF = DC×EA×FB なので �僖EB : �僖CF = EA×AB : AF×CA = q : p となる。 �僖EB = -�僖BE なので 　p�僖BE + q�僖CF = 0 となり、D が AG 上にあることがわかる。 (2)　AD，BE, CF が一点でまじわるので D は直線 AG 上にある。よって 　p�僖BE + q�僖CF = 0 となり �僖EB : �僖CF = q : p = EA×AB : AF×CA となる。よって BD×CE×AB : DC×FB×CA = EA×AB : AF×CA となる。これより 　BD×CE×AF = DC×FB×EA を得る。 戻る