(1) 符号付面積で考える。
⊿ABE : ⊿ACF = AB×AE : -AC×AF
⊿BCF : ⊿BAD = BC×BF : -BA×BD
⊿CAD : ⊿CBE = CA×CD : -CB×CE
である。

p = BC×FB×CE×EA, r = AB×BD×CE×EA,
q = AC×DC×EA×FB = AC×BD×CE×AF
とおく。このとき
p⊿AAD+q⊿ABE+r⊿ACF
 = BD×CE×(AC×AF⊿ABE+AB×AE⊿ACF) = 0
p⊿BAD+q⊿BBE+r⊿BCF
 = CE×EA×(BC×BF⊿BAD+AB×BD⊿BCF) = 0
p⊿CAD+q⊿CBE+r⊿CCF
 = EA×FB×(BC×CE⊿CAD+AC×DC⊿CBE) = 0
となる。
AD,BE,CF は平行ではないので
メインの補題より

これらは一点で交わる。
(1)を使えば (2) が出てくる。


注意
(2) を普通に証明して、それを利用して
(1) を示す方が簡単である。

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