ABCDEFG を正７角形とするとき AB, AC, AD の長さを おのおの a, b, c とおくとき 1/a = 1/b + 1/c であることを示せ。 解答 正７角形 ABCDEFG の外接円の中心を O とし 半径を r とする。 α = 180°/7 とおくと ∠AOB = 2α, ∠AOC = 4α, ∠AOD = 6α なので AB = 2r sin α, AC = 2r sin 2α, AD = 2r sin 3α である。 1/a = 1/b + 1/c 　を示すためには 1/sin α = 1/sin 2α + 1/sin 3α つまり 　sin 2α sin 3α = sin α (sin 2α + sin 3α ) ..... �@ 　を示せばよい。 sin 2α sin 3α = 2 sin α cos α sin 3α 　= sin α( sin 4α + sin 2α ) であり 　4α + 3α = 180° なので sin 4α = sin 3α であるから �@ が成り立つ。 よって 1/a = 1/b + 1/c である。 　戻る