正方形と円と接線

正方形 ABCD において
E は AD を 2:1 に内分する点
F は D から BC を直径とする円に引いた
接線の接点とする
I を BC の中点とし
二直線 EC と DI の交点を H とする
このとき次を示せ

�@　∠AFH = 90°, FA = FH


解答

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HI はの垂直二等分線で
∠HCF = 45°なので((参照))
�僣FC は直角二等辺三角形である


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�僥BC は FB : FC = 1 :2. ∠BFC = 90°
((参照))
�僂ID は CI : CD = 1 :2. ∠ICD = 90°
なので �僥BC ∽ �僮CD
よって ∠FBC = ∠CID
故に FB と HD は平行
AB と CD は平行なので
∠ABF = ∠CDH
さらに AF と EC は平行だったので
∠BAF = ∠DCH
AB = CD だったので
�僊BF ≡ �僂DH


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AF = HC で AF と HC は平行なので
四辺形 AFCH は平行四辺形
故に �僥HA ≡ �僣FC
よって �僥HA は直角二等辺三角形である