角の二等分線と比

△ABC の底辺 BC 上に点 D をとる
辺 AB 上に点 E を
ED が ∠ADB の二等分線となるようにとり
辺 AC 上に点 F を
FD が ∠ADC の二等分線となるようにとる
このとき次を示せ。

１．　BD = DC のとき
　　　　EF は BC と平行である。
２.　BD > EF のときは
　　EF の延長と BC の延長は交わる
　　交点を G とすると
　　BD : DC = BG : GC
　　　が成り立つ
↓
↓
↓
↓
↓
↓
ヒント
ED が ∠ADB の二等分線なので
AE : EB = AD : DB
同様に
AF : FC = AD : DC
↓
↓
↓
↓
↓
↓
１．の解答
BD : DC
のときは
ヒントより
AE : EB = AF : FC
よって EF と BCとは平行である。
↓
↓
↓
↓
↓
↓
２．の解答
BD > DC
のときは
ヒントより
EB/AE = BD/AD > DC/AD = FC/AF
なので
　　EF の延長と BC の延長は交わる
　　交点を G とする
メネラウスの定理より
(AE/EB)×(BG/GC)×(CF/FA) = 1
これと、ヒントから得られる
AE/EB = AD/BD, CF/FA = DC/AD
より
(DC/BD)×(BG/GC) = 1
を得る。
よって
BD/DC = BG/GC
つまり
BD : DC = BG : GC
を得る