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多くの直角三角形

図において
�僖BA は ∠ADB = 90°の直角三角形
�僖BA ∽ �僞AC ∽ �僥BC
G は F から BC に引いた垂線の足
とする。このとき

�僖BA ∽ �僭DE

であることを示せ

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解答

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複素数平面で解こう
適当に座標をいれて複素数平面で考える
A, B, C, D, E, F, G に対応する複素数を
各々 a, b, c, d, e, f, g として
i を虚数単位とする
r = DA/DB とおく
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a - d = ri(b - d)
c - e = ri(a - e)
c - f = ri(b - f)
f - g = -ri(b - g)
である

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以上より
(1 - ri)d = a - rib
(1 - ri)e = c - ria
(1 - ri)f = c - rib
(1 + ri)g = f + rib
である
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(1 + ri)g = e + rid
であることを示そう
これが示されたら
e - g = -ri(d - g)
が示され証明が完成する

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(1 - ri)(1 + ri)g
　= (1 - ri)(f + rib)
　= (1 - ri)f + (1 - ri)rib
　= c - rib + rib + r²b
　= c + r²
であり
(1 - ri)(e + rid)
　= c - ria + ri(a - rib)
　= c + r²
でるので
(1 + ri)g = e + rid
が示された