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正７角形問題

P を正７角形 ABCDEFG の外接円の
弧 GA 上の点とする。このとき

PA - PB + PC - PD + PE - PF + PG = 0

である

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解説

∠APB = ∠BPC = ∠CPD = ∠DPE
= ∠EPF = ∠FPG = π/7
なので
BP, CP, DP, EP, FP, GP を
P を中心にして時計回りに各々
π/7, 2π/7, 3π/7, 4π/7, 5π/7, 6π/7 回転すると
向きが AP と同じになることに注意しよう
↓
↓
↓
↓


正７角形 ABCDEFG の外接円が単位円
A が 1 となるように座標をいれて
複素数平面で考えよう



長さが 1 で偏角 2π/7 の複素数を α とおくと
A, B, C, D, E, F, G に対応する複素数は
各々 α, α², α³, α⁴, α⁵, α⁶ である
P に対応する複素数を p とする。

長さが 1 で偏角 π/7 の複素数を β とおくと
最初の注意より
(α-p)β^-1, (α²-p)β^-2, (α³-p)β^-3,
(α⁴-p)β^-4, (α⁵-p)β^-5, (α⁶-p)β^-6,
は各々長さが
|α-p|, |α²-p|, |α³-p|,
|α⁴-p|, |α⁵-p|, |α⁶-p|
で向きが 1-p と同じ複素数である

r = |1-p| - |α-p| + |α²-p| - |α³-p|
　 + |α⁴-p| - |α⁵-p| + |α⁶-p|
とおく
示すべきことは r = 0 であるが、
z = (1-p) - (α-p)β^-1 + (α²-p)β^-2 - (α³-p)β^-3,
　　+ (α⁴-p)β^-4 - (α⁵-p)β^-5 + (α⁶-p)β^-6
とおくと
z は 1-p と向きが同じで
長さが r の複素数なので z = 0 を示せばよい

α = β², β⁷ = -1
1 - β + β² - β³ + β⁴ - β⁵ + β⁶ = 0
なので z = 0 は示される

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