僊IH は直角二等辺三角形である
IH =
である僣IG は直角三角形である
IG =
である僊IK ∽ 僖IL である
K, I, L は同一直線上にある
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正八角形と相似 図において (1) ABCDEFGH は一辺長さが 1 の正八角形 (2) O はその正八角形の中心 (3) I は弦 AD と BF との交点 (4) K は A から BH に下ろした垂線の足 (K は BH の中点) (5) L は BL = BO なる BD 上の点 この記号の下で いくつかの問題を考えよう |
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問題１ 僊IH は直角二等辺三角形である IH = である |
問題２ 僣IG は直角三角形である IG = である |
問題３ 僊IK ∽ 僖IL である K, I, L は同一直線上にある |
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問題４ 傳LK ∽ 僣IG である |
問題５ 四辺形 KIGH 円に内接している |
問題６ 僵AH ∽ 僵IG である |
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問題７ 傳KL ≡ 儖KG である |
問題８ 僵LG は直角二等辺三角形である |
問題９ BF と LG との交点を K とおくと KM は LG と直交しますか？ 解説に続きます |
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問題１０ L は BD と CE との交点である。 |
問題１１ 僞GL ∽僣IG である。 解説に続きます |
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問題１ 僊IH は直角二等辺三角形である IH = である解説 @ 正八角形 ABCDEFGH は O を中心とする円に内接している A AD と CH は BF に関して対称 よって AD, CH, BF は I で交わる B ∠DAH = 90° C ∠AHC = 45° |
問題２ 僣IG は直角三角形である IG = である解説 @ I は線分 CH 上にある A ∠CHG = 90° B IH = 、HG = 1 |
問題３
僊IK ∽ 僖IL である K, I, L は同一直線上にある 解説 L が BD と CE との交点で あることに注意しよう(問題１１参照) @ ∠AKB = 90°= ∠DBK より AK と DB は平行 ∴ ∠KAI = ∠LDI A AI : DI = AI : IH = 1 : B DH と CE との交点を N とおくと 儂DL は直角二等辺三角形 DN : DL = 1 : DN = AK なので AK : DL = 1 : |
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問題４ 傳LK ∽ 僣IG である 解説 @ ∠LBK = 90°= ∠IHG A OB : OK = : 1BO = BL なので LB : BK = : 1B IH = , HG = 1 |
問題５ 四辺形 KIGH 円に内接している 解説 傳LK ∽ 僣IG より ∠BKI = ∠HGI よって 四辺形 KIGH 円に内接している |
問題６ 僵AH ∽ 僵IG である 解説 四辺形 KIGH 円に内接しているので @ ∠IKG = ∠IHG = 90° A ∠KGI = ∠KHI = 22.5° B ∠AHK = 90°、∠AHK = 22.5° |
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問題７ 傳KL ≡ 儖KG である 解説 @ ∠KBL = 90°= ∠KPG A BK = OK B OG = BL |
問題８ 僵LG は直角二等辺三角形である 解説 僵OG は 僵BL を K まわりに 90°回転したものである |
問題９ BF と LG との交点を K とおくと KM は LG と直交しますか？ 未確認です |
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問題１０ L は BD と CE との交点である。 解説 BD と CE との交点を L' とおく @ BD と AE は平行 A BF と CE は平行 B OB = OE より、四辺形 OBL'E はひし形 よって BL' = BO つまり L' = L |
問題１１ 僞GL ∽僣IG である。 解説 @ ∠CEG = 90° A 四辺形 BLEO はひし形 よって EL = EO B 儖EG は直角二等辺三角形 ∴ OE : EG = 1 : 以上より ∠LEB = 90°、EL : EG = 1 : ∴ 僞GL ∽僣IG |
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