作図 C は線分 AB 上の点ととする AB, AC, CB 直径とする三つの半円がある F は大きい半円上の点で CF と AB と直交しているものとする。 図のような 二つの半円に接し CF に接する円を作図しよう Go Geometryにあった図です

作図 これから始まります	長方形 FCBG を描く	AB 上に点 H を BH = BG となるようとり BG 上に点 I を AG と HI が平行となるようにとり。 J を BI の中点とする。

線分 AB 上に点 K を、 AB の延長線上に点 L を BK = BJ = BL となるようにとる	大きい半円の中心を O とする。 図のように O を中心とし半径 OK の円と E を中心とし半径 EL の円との 大きい半円内の交点を P とする。	P を中心とし半径 BJ の円が 求める円の一つである。

BA の延長線上に点 M を 線分 AB 上に点 M を、 AM = BJ = AN となるようにとる O を中心とし半径 ON の円と D を中心とし半径 DM の円との 大きい半円内の交点を R とする。	R を中心とし半径 BJ の円が 求める円のもう一つである。

解説 a = AD, b = CE とおく BJ = ab/(a+b) である。(理由はあとで) 求める円の半径が ab/(a+b) を示せばよい	a ≥ b として説明します 図の求める円の中心を V とし 半径を r とする。 W を P から AB に下ろした垂線の足とする。 OW + WE = OE = a a(OW - WE) = OW2 - WE2 = OV2 - VE2 　= (a+b-r)2 - (b+r)2 　= a2 + 2a(b-r) - 4br a OW = a2 + a(b-r) - 2br である。 OC = AC - AO = 2a - (a+b) = a - b なので ar = a CW = a(OW - OC) 　= 2ab - ar - 2br よって r = ab/(a+b)	a = AD, b = CE とおく BJ = ab/(a+b) である。 理由 方べきの定理より CF2 = AC × CF = 4ab また HB = GB = FC である。 AG と H が平行なので AB × BI = HB × GB = CF2 = AC × CF = 4ab AB = 2(a+b), BJ = BI/2 なので BJ = ab/(a+b) である。