正１７角形の作図

描く手順

半径１の円に内接する正３４角形の一辺の長さを作図して描きます


O を中心とし、AA' を直径とする円をかく。	AA' に直交する半径BO をとり

BO を 3:1 に内分する点を C とおく。	図のように D, E とおく。

OB 上に点 F を OF = AD となるようにとる

円FO と AFの延長との交点を G とおく。 AG の中点を H とする。

OB の延長上に点 I を AE = OI となるよにうにとる

円 IO と線分 AI との交点を J とする。

円 AJ と線分 AO との交点を K とする。

AO を直径とする円周上に点 L を KL と OA が直交するようにとる。

AH を直径とする円と円 AL との交点の一つを M とする。

円 HM と線分 AH の交点を N とする。

AN の長さが、円 OA に内接する正３４角形の一辺の長さである。

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計算

長さが 1 で偏角が　2π/17 の複素数を α で表すとでであるので
とおくと	である
とおくと	である
	δ' が上記の性質を満たすことの説明は次を見て下さい
今までの計算 δ' を作図すればよい

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解説

図において、円 O の半径を 1 とする。このとき

AD = b, AE = b'

である

OF = OD = b

である

AG = γ

AH = γ/2 = c

である

OA = 1

OF = b

であった

参考

OI = AE = b'

である。

AJ = ε

である

OA = 1

OI = b'

であった

参考

AK = AJ = ε

である

AO = 1

AK = ε

なので

AL² = AK×AO = ε

である

HM² = c² - ε

である

AH = c

AM = AL

AL² = ε

であった

AN = δ'

である

AH = c

HN² = HM² = c² - ε

であった

参考

AP = AQ = AN　= δ'

でこれは、円 O に内接する
正 34 角形の一辺の長さである

よって PQ は円 O に内接する
正 17 角形の一辺の長さである

以下の図により
円 O に内接する正 17 角形が作図できる

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正３４角形の一辺の長さ

図のように複素数平面で
単位円を 1 から始めて 17 等分する。
点 A に対応する複素数は α
点 B に対応する複素数は α⁴
点 C に対応する複素数は α¹³
である。
C の 0 に関する対称点を D とすると
点 D に対応する複素数は -α¹³ である

BD は単位円に内接する正 34 角形の
一辺の長さであり、それは
α⁴ + α¹³
である。
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