直角三角形と内心

�僊BC は ∠BAC = 90°の直角三角形として
I はその内心とする
D は BC 上の点で CD = CAとする
このとき、次を示せ

�@　BI は �僮DC の外接円に接している
�A　BI² = a(a-b)
�B　BI² : CI² = a-b : a-c
　　　ここで
　　a = BC, b = CA, c = AB
　　　　としている。
解説

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E を BI の延長線上の点とする。
∠ABC + ∠ACB = 90°で
IB は ∠ABC の二等分線で
IC は ∠ACB の二等分線なので
∠EIC = 45°である。
IA は ∠BAC の二等分線なので
∠IAC = 45°
�僮DC ≡ �僮AC なので
∠IDC = ∠IAC
よって
∠EIC = 45°= ∠IDC
故に EI は �僮DC の外接円に接している。