角度の問題

図において
D は �僊BC の頂点 A から
辺 BC に下ろした垂線の足とする。
∠BAD = 36°, ∠CAD = 66°とする
E は AD 上の点で
∠ACE = 18°とする。このとき

∠EBC = 18°であることを示せ。

解説

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この問題は、次の一般の問題
図において
D は �僊BC の頂点 A から
辺 BC に下ろした垂線の足とする。
∠BAD = (30 + a)°, ∠CAD = (60 + a)°とする
E は AD 上の点で
∠ACE = (30 - 2a)°とする。このとき

∠EBC = 3a°であることを示せ。

(a = 6 の場合が、もとの問題) ↓
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問題を変えて
�僊DE は ∠ADC = 90°の直角三角形で
∠CAD = (60 + a)°とする
F は DC 上の点で ∠DAF = (30 + a)°で
E は AD 上の点で ∠ACE = (30 - 2a)°とする。
このとき

∠EFD = 3a°であることを示せ。

これを解こう
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題意の図は相似の意味で
一意的に定まるので
答えがもとまるよう
題意の図を作図しよう
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∠GEC = ∠GCE = (30-2a)°
∠FEC = 2a°, ∠FCE = a°
∠EGF = (30+a)°
なる図形を作図しよう。
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もし、それが作図できたら
D を E から FC に下ろした垂線の足
A を DE と CG との交点とおくと
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∠DAC = 90°- ∠ACD
　　= (90-(30-2a)-a)°= (60+a)°
180°- ∠GFE = ∠FEG + ∠FGE
　= (2a + (30-2a) + (30+a))°
　= (60+a)°
であるから
四辺形 AEFG は円に内接している
ここで
∠ADC = 90°
∠DAC = (60+a)°
∠DAF = ∠EGF = (30+a)°
∠ACE = (30-2a)°
であり
∠DFE = ∠FEC + ∠ECF = 3a°
となり、求める図が作図される。
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改めて
∠GEC = ∠GCE = (30-2a)°
∠FEC = 2a°, ∠FCE = a°
∠EGF = (30+a)°
なる図形を作図しよう。
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正三角形 �僂KM を描く
MK = MG, ∠KMG = (60+2a)°の
二等辺三角形 �儁KG を描く
GM = GF, ∠MGF = (60+4a)°の
二等辺三角形 �僭FM を描く

（KC = GF である）
�僥GE ≡ �僵CG
なる �僥GE を描く
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∠GMF = (60-2a)°、∠AMK = (60+2a)°、
∠KMD = 60°
なので、 F, M, C は一直線上にある
∠MGC = ∠MCG = (∠GMC)/2 = (30-a)°
∠KCG = 60°- ∠MCG = (30+a)°
∠KGC = ∠KGM - ∠CGM
　= (60-a)°- (30-a)°= 30°
∠EGC = ∠EGF + ∠FGM + ∠MGC
　= ((30+a)+(60+4a)+(30-a))°
で GC = GE なので
∠GEC = ∠GCE = (30-2a)°
である。
∠FEC = ∠FED - ∠CEG
　= (30 - (30-2a))°= 2a°
∠ECF = ∠GCM - ∠GCE
　= ((30-a) - (30-2a))°= a°
であり
∠EGF = ∠GCK = (30+a)°
である。