O を中心とする半径 1 の円周上に
A, B を ∠BOA = 30°となるようにとる。
AB の長さを x とおくと
OA を半径とする円の円周の長さが 2π なので
6x < π
である。
0.259081 = 0.5092 < x2 ... (*)
を示そう。これが示せたら
3.05 < 3.054 = 6×0.509 < 6x < π
つまり示したい不等式 3.05 < π が示せる。
(*) の証明
B から OA に引いた垂線の足を C とおく。このとき
BC = 1/2 で AB = 1 -
/2 なのでx2 = AB2 = BC2 + AC2 = 2 -
である。
(2-0.26)2 = 1.742 = 3.0276 > 3
より
2 - 0.26 >
を得る。これより
0.259081 < 0.26 < 2 -
= x2つまり、示したい不等式 (*) を得る。
以上より 3.05 < π が示せた。
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の近似値 1.73205... を使うともっと
楽な計算ができるがπ の近似値 3.14159... が使えない状況では
使うのを控えるのが筋でしょう。