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図において ABCD は正方形 E は辺 CD 上の点(頂点とは異なる) F は直線 AE と直線 BC との交点とする。 このとき AE + AF > 2AC であることを示せ。 正方形の一辺の長さを 1 としておく。 DE の長さを t とおく 0 < t < 1 である。 EF = ((1-t)/t)×AE なので AE + AF = ((1+t)/t)×AE AE2 = 1 + t2 なので (AE + AF)2 = t2 + 2t + 2 + 2/t + 1/t2 相加相乗平均の定理より t2 + 1/t2 ≥ 2, 2t + 2/t ≥ 4 (等号は t = 1 の時のみ成立) いま 0 < t < 1 なので (AE + AF)2 > 8 = (2AC)2 よって、求める結果を得る 戻る |