東大(04後理1) (1)　 �儕0P1P2P は ∠P0P1P2 = θ = ∠P0P2P1P の二等辺三角形をなし 　　P3P は半直線 P2P0 上にあることになる。 　P0P1 = 1 なので 　r = r P0P1 = P1P2 = 2 cos θ である。 条件 (c) を満たすためには ∠Pn+Pn+2Pn+3 は同じ 向きに ∠PnPn+1Pn+2 と等しくないといけない (n = 0, 1, 2, ....)。 (2)　zn+2 - zn+1 = r δ (zn - zn+1) 　と表すことができる(n = 0, 1, 2, ....)。ただし δ は長さが 1 で偏角が θ または -θ の複素数である。 　　zn - zn-1 = (-r δ) (zn-1 - zn-2)　　　(n = 2, 3, 4, ....)) より 　　zn - zn-1 = (-r δ)n-1 (z1 - z0) = (-r δ)n-1 　　　(n = 2, 3, 4, ....)) より 　　zn = zn - z0 = (1 - (-r δ)n)/(1 + r δ) 　　　　ここで δ = cos θ - i sin θ または δ = cos θ + i sin θ より 　zn = (1 - (-r)n(cos nθ - i sin nθ))/ (1 +r cos θ - ir sin θ) あるいは 　zn = (1 - (-r)n(cos nθ + i sin nθ))/ ( 1 + r cos θ + ir sin θ) (3)　求める必要十分条件は r < 1 より π/3 < θ < π/2 (4)　α(θ)+ i β(θ) = 1/( 1+ r cos θ - ir sin θ) = 1/(1+ 2cos θcos θ - 2i cos θ sin θ) (あるいは 1/(1 + 2cos θcos θ + 2icos θ sin θ) 　　より θ π/3+0 のときのこれの極限値を求めて 1/2 と /6　(1/2 と -/6) (5)　β(θ) = 2cos θ sin θ/ ((1+2cos θcos θ)2 + (2cos θ sin θ)2) 　　　= sin 2θ/(1 + 8(cos θ)2)) = sin 2θ/(5 + 4cos 2θ) 　　増減の表を描いて最大値 1/3 を得る。 (もう一つの場合は最大値なし) 　戻る