２　 |z| > 5/4 となるどのような複素数 z に対しても w = z2 - 2z とは表されない複素数 w 全体の集合を T とする。すなわち、 　　T = { w | w = z2 - 2z ならば |z| ≤ 5/4} とする。このとき、T に属する複素数 w で 絶対値 |w| が最大になるような w の 値を求めよ。 解答 w を T に属する複素数とする。このとき 方程式 　z2 - 2z - w = 0 の解を α, β とおくと 　|α| ≤ 5/4, |β| ≤ 5/4 であり 　α + β = 2 で α β = -w である。 よって 　|w| = |-w| = |α β| = |α| |β| ≤ 25/16 今、 |w| = 25/16 と仮定すると 　|α| = 5/4 で |β| = 5/4 となる。 　つまり α, β は |z| = 5/4 で定まる円周上にある。 α + β = 2 なので 　0, α , 2, β はひし形を作る。 ∴ α, β は 1 + (3/4)i, 1 - (3/4)i で α β = 25/16 となる。 つまり w = -25/16 になる。 実際 　z2 - 2z - (-25/16) = 0 の解は 1 + (3/4)i, 1 - (3/4)i なので -25/16 は T に属する。 以上より -25/16 が求めるものである。 　　もどる