(a, b, c) を原始的ピタゴラス数とする。 (1) が示されれば (2) が成り立つことは自明である。 a と b は互いに素なので双方とも偶数ではありえない。 奇数の平方は 4 で割ると 1 あまり 偶数の平方は 4 で割り切れる。(*1) よって a, b 共に奇数とすると a2 + b2 は 4 で割ると 2 あまる。 c2 = a2 + b2 なので c2 は 4 で割ると 2 あまることになる。 これは c が奇数でも偶数でも不可能である。 以上より (1) も示されたことになる。 戻る　　 (*1)　x を奇数とすると x = 2n + 1 となる整数 n が存在する。 x2 = 4n(n+1) + 1 なので x2 は 4 で割ると 1 あまる。 (n(n+1)/2 は整数なので 　実は x2 は 8 で割ると 1 あまる。) x を偶数とすると x = 2n となる整数 n が存在する。 x2 = 42 なので x2 は 4 で割り切れる。