ラグランジュの公式の系
n を 2 以上の自然数として
a
1
, a
2
,..., a
n
, n 個の正の実数とする。
このとき次の式が成り立つ。
(a
1
+a
2
+...+ a
n
) (1/a
1
+1/a
2
+...+ 1/a
n
) ≥ n
2
等号は a
1
= a
2
= ... = a
n
のときのみ成り立つ。
(簡単な説明は下段にて)
戻る
略証
α
1
, α
2
,..., α
n
を a
1
= α
1
2
, a
2
= α
2
2
, ... , a
n
= α
n
2
なる正の実数とし
β
1
= 1/α
1
, β
2
= 1/α
2
, ... , β
n
= 1/α
n
, とおくとき
(a
1
+a
2
+...+ a
n
) (1/a
1
+1/a
2
+...+ 1/a
n
) = (α
1
2
+α
2
2
+...+ α
n
2
) (β
1
2
+β
2
2
+...+ β
n
2
) ≥ (α
1
β
1
+ α
2
β
2
+...+ α
n
β
n
)
2
= n
2
を得る。等号条件については明らかである。