シュワルツの不等式
n を 2 以上の自然数として
a
1
, a
2
,..., a
n
, b
1
, b
2
,..., b
n
, を 2n 個の実数とする。
このとき次の式が成り立つ。
(a
1
2
+a
2
2
+...+ a
n
2
) (b
1
2
+b
2
2
+...+ b
n
2
) ≥ (a
1
b
1
+a
2
b
2
+...+ a
n
b
n
)
2
等号は a
1
: b
1
= a
2
: b
2
= ... = a
n
: b
n
のときのみ成り立つ。
(簡単な説明は下段にて)
簡単な系
演習問題
東大03理前期２
略証１
(a
1
2
+a
2
2
+...+ a
n
2
) (b
1
2
+b
2
2
+...+ b
n
2
) - (a
1
b
1
+a
2
b
2
+...+ a
n
b
n
)
2
= Σ
1 ≤ i < j < ≤ n
(a
i
b
j
-a
j
b
i
)
2
≥ 0
これより明らか。
略証２
(a
1
2
+a
2
2
+...+ a
n
2
) ≠ 0 として良い。
x に関する二次式
f(x) = (a
1
2
+a
2
2
+...+ a
n
2
)x
2
- 2(a
1
b
1
+a
2
b
2
+...+ a
n
b
n
)x + (b
1
2
+b
2
2
+...+ b
n
2
) を考えると
f(x) = (a
1
x-b
1
)
2
+ (a
2
x-b
2
)
2
+ ... + (a
n
x-b
n
)
2
であるから、
方程式 f(x) = 0 は実数解を持たないかまたは、重解しかもたない。
f(x) の判別式を考えることにより、求める結果を得る。