演習問題 問題１ a,b,c を三角形の三辺の長さとするとき 次が成り立つことを示せ。 　1/(a+b-c) + 1/(a-b+c) + 1/(-a+b+c) ≥ 9/(a+b+c) 問題２ 　a, b, c を正の実数とするとき 次が成り立つことを示せ。 　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≥ 3/2 問題２' 　a, b, c, d が正の実数を動くとき 　a/(b+c+d) + b/(c+d+a) + c/(d+a+b) + d/(a+b+c) の最小値を求めよ。 　　　　　　　　　　(簡単な説明は下段にて) 戻る

問題１の略解
a+b-c, a-b+c, -a+b+c は正であり、(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c) = a+b+c なので ラグランジュの系より明らか。

問題２の略解
ラグランジュの系より
　(a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b))((b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c) ≥ 9　であり
　(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c = (b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b) ≥ 6 なので、 求める結果を得る。

問題２'の略解
　ほとんど、問題２と同様に行えばよい、a = b = c = d のとき最小値 4/3 を得る。