実験しよう

補題７ α = cos(π/15) + i sin (π/15) とおく
p, q, r, s を整数として
α^p ≠ α^q, α^r ≠ α^s, 1 + α^p+q ≠ 0, 1 + α^r+s ≠ 0
が成り立っているとする。
α^p と α^q を結ぶ直線と α^r と α^s を結ぶ直線が実軸上で交わるならば
30 と互いに素なすべての整数 t に対して
α^pt と α^qt を結ぶ直線と α^rt と α^st を結ぶ直線が実軸上で交わる。

補題７の証明
K を有理数体 Q に α を付け加えた Q 上のガロア拡大とする
K は Q 上８次の拡大体である。
G を K の Q 上のガロア群とする。その位数は 8 である。
t を 30 と互いに素な整数とするとき
　α

α^t
で定まる G の元がある。それを σ_t であらわすことにする。
α^p と α^q を結ぶ直線と α^r と α^s を結ぶ直線が実軸上で交わるとすると。
補題４より
　(1 + α^r+s)(α ^p + α^q) - (1 + α^p+q)(α ^r + α^s) = 0
が成り立っている。この両辺を σ_t でうつして
　(1 + α^rt+st)(α ^pt + α^qt) - (1 + α^pt+qt)(α ^rt + α^st) = 0
を得る。再び補題４を適用して。
α^pt と α^qt を結ぶ直線と α^rt と α^st を結ぶ直線が
実軸上で交わることがわかる。　

一つ戻る　　すこし戻る　　戻る

注意

　G = { σ₁, σ₇, σ₁₁, σ₁₃, σ₁₇, σ₁₉, σ₂₃, σ₂₉}
　　である。